Trayectorias Ortogonales

TRABAJO #1

Luis Alberto Lembrino López

No. de Cuenta 311 239 177

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Trayectorias Ortogonales
El conjunto de soluciones (o solución general) deuna ecuación diferencial de primer orden es una
familia de curvas que depende de un parámetro, la constante de integración. Recíprocamente, dada
una familia de curvas que dependen de un parámetro c,descritas por la ecuación F(x,y)=c , existe una
ecuación diferencial de primer orden de la cual esta familia es la solución general. Si
y = y(x) es una de las curvas de esta familia, entoncesF(x,y(x)) =c para todo , x∈ I siendo I un intervalo
donde está definida la función y= y(x). Ahora derivamos implícitamente en la igualdad
F(x, y(x))=c y obtenemos Fx(x,y(x)) + Fy(x,y(x)) * y’(x)=0 para todox∈ I. Es decir, la función y=y(x) es
solución de la ecuación diferencial en el intervalo x∈ I. Esta ecuación diferencial se llama ecuación
diferencial de la familia de curvas F(x,y)=c .En el siguienteejemplo desarrollamos este proceso en
varios casos concretos.

1 er Ejemplo :
y = cx ^ 2
y = cx2
Despejando a c
y
c=
donde
x2
Fx =
Fy =

-2 y
x3
1

x2
Entonces la ecuación diferencial asociada a lafamilia de parábolas es
dy
Fx
-2 y
=
=
dx
Fy
x
Resolviendo esta ecuación por variables separables
dy
dx

=

-2 y
x

2 y dy = - x dx
 2 y ⅆ y = - x ⅆ x

y2 =

1
2

x2 + C

Printed by Wolfram MathematicaStudent Edition

2

trabajo 1.nb

y2 x2
2C

1

x2 = C

2
+

y2
C

= 1 < ---- Familia de trayectorias ortogonales (elipses)

2 do Ejemplo :
Hallar la familia de curvas ortogonales de la familiauniparamétrica
y2 = 2 cx
2y

dy
dx

=2c

Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

trabajo 1.nb

y

dy
dx

c=

y

y2
2x

dy
dx

dy
dx

=c

=

y2

=

2x
y

2x

Entonces ...
dy
dx

=

-2 x
y

Ya quetenemos nuestra ecuación diferencial, resolvemos por separación de variables
y dy = - 2 x dx
Integrando ...
y2

- 2 x2

+ C
2
2
De tal manera que :
=

x2 +

y2
2

= C < --- Familia de trayectorias...