Triangulos de napoleon

Colegio Salesiano (IMTE)

Matemáticas III
Juan Jorge Esquivel.

Guadalupe Aguilera Chávez.
Adriana Baltodano Goicochea.
María Fernanda Candelas Pérez.
Ángel Tonatiu Fernández.
Adolfo Gil García.
Pedro Hernández Batres.

Proyecto del triangulo de Napoleón o Teorema de Napoleón

 

Introducción

Este trabajo va a tratar sobre los triángulos de Napoleón (teorema de Napoleón)Aparecen al construir triángulos equiláteros sobre los lados de cualquier triángulo. Aunque se atribuyen a Napoleón, no está documentado y parece poco creíble que el general francés tuviera los conocimientos de geometría necesarios para poder obtener estos resultados.
Dado un triángulo cualquiera, construimos externamente triángulos equiláteros sobre sus lados. Se llama triángulo exterior deNapoleón al triángulo que resulta de unir los centros de dichos triángulos equiláteros.
El triángulo exterior de Napoleón es equilátero.
De forma similar, dado un triángulo cualquiera, construimos internamente triángulos equiláteros sobre sus lados. Se llama triángulo interior de Napoleón al triángulo que resulta de unir los centros de dichos triángulos equiláteros.
El triángulo interior deNapoleón es equilátero.
Los centros de los triángulos equiláteros construidos sobre los lados de un triángulo cualquiera forman siempre un triángulo equilátero. El punto de Fermat es un punto del interior de un triángulo de manera que la suma de distancias de ese punto a cada uno de los vértices es mínima.
Más adelante lo vamos a demostrar y a explicar el procedimiento de cómo se hacen estostriángulos, además de cuáles son sus antecedentes


Historia (antecedentes)

En los años de la Revolución y en la época napoleónica, Francia contó con un buen número de grandes matemáticos como: Lagrange, Monge, Laplace, Legendre, Condorcet, Carnot, Fourier, entre otros que se esforzaron en desarrollar una matemática eminentemente práctica, que contribuyera al desarrollo de la sociedad através de la utilidad pública de sus resultados.
El mismo Napoleón sintió una gran admiración por los matemáticos y por su ciencia: "El progreso y el perfeccionamiento de la matemática están íntimamente ligados a la prosperidad del estado".
De hecho, se cuenta que antes de autoproclamarse emperador, Napoleón se enzarzó en una discusión sobre matemáticas con Lagrange y Laplace que fue subiendo detono hasta que Laplace le advirtió: "Lo último que deseamos de usted, general, es una lección de geometría". Años más tarde Napoleón nombró a Laplace ministro del Interior, pero, al ver la inutilidad del matemático para los asuntos públicos, lo cesó al poco tiempo alegando que Laplace aporta “el espíritu de lo infinitamente pequeño a la dirección de los asuntos de estado".
En todo caso, parecepoco probable que el emperador fuera el verdadero autor de los dos teoremas que llevan su nombre.

El primer triangulo de Napoleón:
Consideramos triángulos construidos sobre los lados de un triángulo arbitrario de manera que la suma de los ángulos "opuestos" a los lados de este triángulo sea 180º. Entonces las circunferencias circunscritas a estos tres triángulos se cortan en un punto común.Modo de construcción

1. Se construye el triángulo ABC.

2. Se construyen los triángulos equiláteros ACE, ABF y BCD sobre los lados AC, AB y BC respectivamente.

3. Se obtienen los centros A', B' y C' para construir el triángulo A'B'C' y se miden los ángulos B'A'C', C'B'A' y A'C'B' y se comprueba que el triángulo es equilátero.



4. Se construyen los segmentos AD, BE y CF que secortan en el punto de Fermat F.

5. Se dibuja un punto P y los segmentos que lo unen con los vértices del triángulo y se comprueba que PA+PB+PC>FA+FB+FC.

6. Se construyen los segmentos AD, BE y CF y se comprueba que miden lo mismo.

7. Se miden los ángulos AFC, AFB y BFC y se observa que miden siempre 120º.





Otro modo de construcción

Dado un triángulo cualquiera, si...