Trigonometria y Vectores1























DEEFINICIÓN

La trigonometría es la rama de las matemáticas que se especializa en el análisis y estudio de los triángulos, especialmente en las formas, significados y valores de los diferentes ángulos que pueden existir. Las identidades trigonométricas serán, entonces, los resultantes de esos valores que son variables y muy diversos entre uno y otro.

FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS
Razones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre elcateto adyacente sobre la hipotenusa,

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,


Razones trigonométricas inversas

La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:


La Secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno,o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:


La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:



Identidades trigonométricas fundamentales
Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² αRelación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α




Sabiendo que tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.




Sabiendo que sen α = 3/5, y que  90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.





Primer ejercicio
Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y coseno tenemos:
Cosec x – Cotg x. Cos x = Sen X
1 . – Cos x . Cos x = Sen x
Sen x Sen x

1 . – Cos ² x = Sen x
Sen x Sen x

1 – Cos ² x = Sen x
Sen x

Pero 1- Cos² x = Sen ² x ; luego Sen² x = Sen x Sen x

Sen x = Sen x

*Simplificación: Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y7o auxiliares con transformaciones algebraicas.
Cos x (Tg x + 1) = Sen x+ Cos x
Cos x . Sen x + 1
Cos x

Cos x . Sen x + Cos x
Cos x

Sen x + Cos x = Sen x + Cos x


Segundo ejercicio
Senx + cos x tan x = 2 tan x
cos x

senx + cos x senx Cambiamos la expresión tanx por su equivalente
1 1 cos x = 2 tan x
cos x

senx + senx = 2 tan x Simplicando la expresión cos x senx nosqueda senx
cos x 1 cos x

2 senx = 2 tan x Sumando
cos x

2 tan x = 2 tan x

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

          
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, delvértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivos será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulodel que queremos determinar.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos...