trigonometria

Trigonometría


MATEMÁTICAS BÁSICAS
TRIGONOMÉTRIA
RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas con origen en un mismo punto. Las
semirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen común se le denomina vértice del ángulo. Los ángulos
positivos se miden en sentido contrario a las agujas del reloj y los negativos en el mismo sentido.
1La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos . Su etimología
proviene de trigono triángulo y metría medida.
Sea el siguiente triángulo rectángulo:

hipotenusa
c

α

b

cateto opuesto

a
cateto adyacente

Se definen las siguientes razones trigonométricas directas para el ángulo α:
2

cateto adyacente a
=
cateto opuesto
bhipotenusa
a
=
secante: sec α =
cateto adyacente c

cateto opuesto b
=
hipotenusa
c
cateto adyacente a
=
coseno: cos α =
hipotenusa
c
seno: sen α =

tangente: tan α =

cotangente:

cateto opuesto
b
=
cateto adyacente a

cot α =

cosecante: csc α =

hipotenusa
c
=
cateto opuesto b

En términos de variables, las funciones trigonométricas son:

y = cot x
y = sec x
y =csc x

y = sen x
y = cos x
y = tan x
1
2

Recuérdese que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.
Se entiende como razón al cociente que compara dos cantidades.

1

Trigonometría


De las definiciones anteriores, se puede concluir que:

tan x =

sen x
cos x

cot x =

cos x
1
=
sen x tan x

sec x =

1
cos x

csc x =

1
sen x

En caso de tenerel valor de la razón trigonométrica, para obtener el ángulo, se aplica la razón
trigonométrica inversa. Las seis razones trigonométricas inversas para el ángulo α son las siguientes:
seno inverso:

α = sen −1 x

coseno inverso:

α = cos −1 x

tangente inversa: α = tan

α = cot −1 x

cotangente inversa:

−1

secante inversa: α = sec

x

cosecante inversa:

−1

x

α = csc−1 x

3

En términos de variables, las funciones trigonométricas inversas se definen como :

y = sen −1 x

y = cot −1 x

y = cos −1 x

y = sec −1 x

y = tan −1 x

y = csc −1 x

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Para resolver triángulos rectángulos, basta con conocer sólo dos datos. Las demás características se
pueden deducir aplicando las expresiones anteriores y el teoremade Pitágoras que establece que el
cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equivale a la suma de los cuadrados de los catetos.
Esto es: c = a + b
2

2

2

Ejemplos.
Dados los siguientes triángulos, obtener los datos que faltan:
1)

c=9

b =?

α=?
a=4

3

Es importante señalar que existen otras dos notaciones para las funciones trigonométricas inversas. Porejemplo, para la función

trigonométrica inversa del seno es equivalente escribir:

y = sen −1 x = ang sen x = arc sen x ,

ángulo cuyo seno y arco cuyo seno. Lo mismo sucede para las otras cinco funciones de este tipo.

2

que respectivamente significan

Trigonometría


Solución.
2
2
2
Se sabe que c = a + b . Por lo tanto, despejando a se tiene:

a = c 2 − b 2 = 9 2 − 4 2 = 81 −16 = 65 ≈ 8.062
65
= 0.895 ⇒ α = sen −1 (0.895 ) ≈ 63.50°
9

sen α =
2)

c = 16
b=?

α = 35°
a =?

Solución.
Por la definición de coseno: cos35° =

a
⇒ a = 16(0.8191) ≈ 13.106
16

b = c 2 − a 2 = 162 − 13.10642 = 256 − 171.77 = 84.23 ≈ 9.177
3)

c=?

b = 20

α=?
a = 17

Solución.
Se sabe que

c 2 = a 2 + b 2 . Por lo tanto, se tiene:

c = 17 2 + 202 = 289 + 400 =689 ≈ 26.248
tan α =

20
= 1.176 ⇒ α = tan −1 (1.176) ≈ 49.63°
17

4) Determinar la longitud de la sombra que se proyecta en el suelo por una persona de
parada cerca de un arbotante cuya iluminación tiene un ángulo 48° .

3

1.80 metros

Trigonometría


α = 48°

b = 1.8 m.
sombra

a=?

Solución.
Si se sabe que la suma de los ángulos de un triángulo es 180° , y como α...