Trigonometria

4

RESOLUCIÓN
DE TRIÁNGULOS

P ágina 102
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Problema 1
Para calcular la altura de un árbol, podemos seguir el procedimiento que utilizó Tales de Mileto para hallar la altura de una pirámide de Egipto: comparar
su sombra con la de una vara vertical cuya longitud es conocida.
Hazlo tú siguiendo este método y sabiendo que:
— la vara mide 124 cm,
— lasombra de la vara mide 37 cm,
— la sombra del árbol mide 258 cm.
Para solucionar este problema habrás utilizado la semejanza de dos triángulos.
124
37
=
x
258
x=

x

258 · 124
= 864,65 cm
37

124 cm
37 cm
258 cm
La altura del árbol es de 864,65 cm.
Problema 2
––
Bernardo conoce la distancia AB a la que está del árbol y los ángulos CBA y
—
BAC ; y quiere calcular la distancia BCa la que está de Carmen.
—
Datos:
AB = 63 m
CBA = 42o
BAC = 83o

A

—
BC = 42 mm
—
Deshaciendo la escala: BC = 42 m

63 m

B
Unidad 4. Resolución de triángulos

42°

83°

C

1

P ágina 103
Problema 3
Bernardo ve desde su casa el castillo y la abadía. Conoce las distancias a ambos
lugares, pues ha hecho el camino a pie muchas veces; y quiere averiguar la distanciadel castillo a la abadía. Para ello debe, previamente, medir el ángulo CBA.
—
—
Datos: BC = 1 200 m; BA = 700 m; CBA = 108o.
100 m → 1 cm
1 200 m → 12 cm
700 m → 7 cm
—
—
CA = 14,7 cm ⇒ CA = 1 470 m
A

700 m → 7 cm
108°
B

1200 m → 12 cm

C

NOTA: El triángulo está construido al 50% de su tamaño.

Problema 4
Calcula, aplicando el teorema de Pitágoras:
a) Los lados iguales deun triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 1.

1
x

x

b) La altura de un triángulo equilátero de lado 1.

1
y

1
2

Haz todos los cálculos manteniendo los radicales. Debes llegar a las siguientes soluciones:
x=

√2 ,
2

y=

Unidad 4. Resolución de triángulos

√3
2

2

b) 12 = y 2 +

a) 12 = x 2 + x 2
1 = 2x 2
x2

y2 = 1 –

1
=
2

y=

1
√2x=
=
2
√2

(1)
2

2

1
3
=
4
4

√3
2

P ágina 104
N

1. Considera este triángulo:
5 cm

a) Calcula la proyección de MN sobre MP.

52°

b) Halla la altura correspondiente a la base MP.
M

c) Calcula el área del triángulo.

7 cm

P

N
5 cm

h

52°
M

a) cos 52° =

P

N'

—
—
MN'
MN'
=
MN
5

—
⇒ MN' = 5 cos 52° = 3,08 cm

h
⇒ h = 5 ·sen 52° = 3,94 cm
5
—
b · MN · sen 52°
b·h
1
c) A =
=
=
· 7 · 5 · sen 52° = 13,79 cm2
2
2
2
b) sen 52° =

Página 105
1. Halla tg 76o y cos 38 o 15' 43''.
tg 76° = 4,0107809
cos 38° 15' 43" = 0,7851878
2. Pasa a grados, minutos y segundos (

) el ángulo 39,87132o.

39,87132° = 38° 52' 16,7"
3. Halla α y β sabiendo que cos α = 0,83 y tg β = 2,5.
cos α = 0,83 → α ≈ 33,901262° =33° 54' 4,54"
tg β = 2,5 → β ≈ 68,198591° = 68° 11' 54,9"
4. Sabiendo que tg β = 0,6924, halla cos β.
tg β = 0,6924 → β ≈ 34,698729° → cos β ≈ 0,8222

Unidad 4. Resolución de triángulos

3

P ágina 106
1. Para determinar la altura de un poste nos hemos alejado 7 m de su base y hemos medido el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal,
obteniendo un valor de 40o.¿Cuánto mide el poste?
B

c

A

a

40°
b = 7 cm

a
→ a = 7 tg 40° = 5,87 m
7

C

tg 40° =

Página 108
1. Razonando sobre el triángulo sombreado de arriba, y teniendo en cuenta que su
hipotenusa es OA = 1, justifica que los segmentos OA' y A'A corresponden, efectivamente, a las razones trigonométricas cos α, sen α.
—
—
—
—
OA'
OA'
A'A
A'A
—
—
cos α = — =
= OA'
sen α= — =
= A'A
OA
1
OA
1
2. Aplicando el teorema de Pitágoras en el correspondiente triángulo rectángulo, justifica que:
(sen β)2 + (cos β)2 = 1
(Ten en cuenta que (–x) 2 = x 2).
(*) —
—
—
(sen β )2 + (cos β )2 = (B'B )2 + (OB' )2 = (OB )2 = 12 = 1
(*)

Teorema de Pitágoras.

Si consideramos una circunferencia no goniométrica (r ≠ 1):
—
—
—
—
—
B'B 2
OB' 2 ( B'B )2 + ( OB'...