Trigonometria

Centro Educativo Terra Nova










Matemática
Tema III: Trigonometría









Alvaro Carlos Adolfo Morales Blandón
Introducción

La trigonometría, es usada alrededor del mundo, por todos los matemáticos y científicos, cuyo significado es “la medición de triángulos”; La trigonometría alrededor del mundo es usada en bastantes aspectos, como en las técnicas detriangulación, que por ejemplo, son usadas en algunas ciencias. Como la astronomía, para medir distancias entre estrellas, planetas, asteroides, etc. También es utilizada en la medición de distancias entre puntos geográficos, e igualmente es utilizada en sistemas de navegación por satélites. Tenemos como otro ejemplo el uso de un brazo robótico, que es operado controlando los ángulos de sus articulaciones,se requiere un uso repetido de las funciones trigonométricas de esos ángulos que se forman por los varios movimientos que se realiza.
De la trigonometría se derivan demasiados temas de estudio, como lo son las leyes de cosenos y senos, identidades trigonométricas, etc. De los cuales se podrán leer a continuación.

TRIGONOMETRIA

3.1 Triangulo Rectángulo

Un triángulo en que el ángulo esrecto (90°) se llama triangulo rectángulo. Recuerde que el lado opuesto al ángulo recto es llamado hipotenusa y los otros dos lados son los “catetos” del triángulo.
La hipotenusa se puede señalar con la letra c, y los catetos con las letras a (cateto adyacente) y b (cateto opuesto). Ya que el triángulo, es un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras nos dice que:


a2 + b2 = c2


Ahorasuponga que existe un ángulo en el triángulo rectángulo, aparte del recto, que lo identificaremos con θ, es un ángulo agudo; esto es, 0° < θ < 90°, podemos usar funciones trigonométricas para, encontrar todos los ángulos internos del triángulo, utilizando la Hipotenusa (c), el cateto opuesto (b), y el cateto adyacente (a), siempre y cuando sea un triángulo rectángulo. Estas son las funcionestrigonométricas:


senθ = Opuesto/ Hipotenusa = b/c
cosθ = Adyacente/ Hipotenusa = a/c
tanθ = Opuesto/ Adyacente = b/a
cscθ = Hipotenusa/ Opuesto = c/b
secθ = Hipotenusa/ Adyacente = c/a
cotθ = Adyacente/ Opuesto = a/b





Ejemplo:

Encontrar el valor exacto de cada una de las seis funciones trigonométricas del ángulo θ, en un triángulo rectángulo con hipotenusa = 5 y adyacente = 3Solución:

Primero encontramos la longitud del cateto opuesto usamos el teorema de Pitágoras:

(adyacente)2 + (opuesto)2 = (hipotenusa)2

32 + (opuesto)2 = 52

(opuesto)2 = 25 – 9

opuesto = √16

opuesto = 4


Ahora que conocemos las longitudes de los tres lados, usamos las razones, para encontrar cada una de las funciones trigonométricas:


senθ = Opuesto/ Hipotenusa = 4/5
cosθ= Adyacente/ Hipotenusa = 3/5
tanθ = Opuesto/ Adyacente = 4/3
cscθ = Hipotenusa/ Opuesto = 5/4
secθ = Hipotenusa/ Adyacente = 5/3
cotθ = Adyacente/ Opuesto = ¾





3.2 Ángulos y sus medidas

Un rayo, o semirrecta, es la parte de una recta que inicia en un punto V de la recta y se extiende indefinidamente en una dirección. El punto inicial V de un rayo es denominado vértice.
Sise dibujan dos rayos con vértice común se formara un ángulo. A uno de estos rayos le llamamos “lado inicial” y al otro “lado final”. El ángulo formado se identifica señalando la dirección y cantidad de rotación desde el lado inicial hacia el lado final. Si la rotación es en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el ángulo es denominado “positivo”; si la rotación va en sentido de lasmanecillas del reloj el ángulo es “negativo”. Las letras minúsculas griegas tales como α (alfa), β (beta), γ (gamma), θ (theta), etc., se usara para denotar ángulos.

Grados:

El ángulo formado por la rotación, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, desde el lado inicial hasta que coincida con el mismo (1 vuelta), se dice que mide 360 grados, Abreviado 360°, así un 1°, es 1/360 de...