Trigonometria

Guion del Modulo 1.
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1.

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A NGULOS Y TRI ANGULOS

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Un angulo es la porcion de espacio entre dos semirrectas con origen comun, que llamaremos v´ rtices del angulo. Para
e
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medir angulos utilizaremos dos unidades: los grados sexagesimales y los radianes.
Para pasar de una a otra medida, podemos usar una regla de tres simple directa, a partir de la equivalencia:
1 rad≡ 180◦ .
Dos resultados b´ sicos y fundamentales sobre tri´ ngulos son:
a
a
´
1. La suma de los angulos de un tri´ ngulo es 180◦ o π radianes.
a
2. El teorema de Pit´ goras, valido para tri´ ngulos y que afirma que en estos, el cuadrado de la hipotenusa es igual a
a
a
la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

2.

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R AZONES TRIGONOM E TRICAS EN TRI ANGULOSRECT ANGULOS

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Definimos la razones trigonom´ tricas de los angulos agudos de un tri´ ngulo rect´ ngulo. Para ello supongamos que
e
a
a
´
es un angulo agudo de un tri´ ngulo rect´ ngulo. Entonces, se definen el seno, coseno, tangente, y sus razones inversas
a
a
respectivas cosecante, secante y contangente de , como sigue:
sen
cos
tan

Cateto opuesto de
hipotenusa
Cateto contiguo de=
hipotenusa
Cateto opuesto de
=
Cateto contiguo de

1
sen
1
sec =
cos
1
cotan =
tan

=

cosec

=

sen
cos
, y entonces su inversa cotan =
.
cos
sen
Observa que estos valores son todas las divisiones que se pueden formar con las longitudes de los lados del tri´ ngulo.
a
Dado que en un tri´ ngulo rect´ ngulo la longitud de los catetos siempre es menor que la longitudde la hipotenusa, el
a
a
´
seno y el coseno de un angulo agudo de un tri´ ngulo rect´ ngulo siempre es menor que 1.
a
a
´
Claramente se tiene la expresion habitual para la tangente tan

3.

=

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´
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C ALCULO APROXIMADO DE LAS RAZONES TRIGONOM E TRICAS DE UN ANGULO AGUDO

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´
Podemos calcular las razones trigonom´ tricas de un angulo agudo. Para ello, dibujamos el angulo ytrazamos una
e
perpendicular a uno de sus lados pasando por el otro, obteniendo entonces un tri´ ngulo rect´ ngulo, pudiendo entonces
a
a
calcular las razones trigonom´ tricas.
e
El valor de las razones trigonom´ tricas no depende de donde tracemos la perpendicular anterior, esto es consecuencia
e
de uno de los teoremas que originan la trigonometr´a, el teorema de Thales.
ı

´
´
A NGULOSNOTABLES Y SUS RAZONES TRIGONOM E TRICAS
π π π
´
Los angulos agudos notables son 30◦ , 45◦ , 60◦ o si preferimos hablar en radianes, , y .
6 4 3
Podemos obtener las razones trigonom´ tricas siguiendo los siguiente procedimientos:
e
4.

1. Si consideramos un cuadrado de longitud de lado 1 (aunque podr´amos tomar cualquier otra longitud), partimos
ı
por la mitad por la diagonal,obteniendo dos tri´ ngulos rect´ ngulos. Cualquiera de ellos permiten f´ cilmente obtena
a
a
er las razones trigonom´ tricas de 45◦ .
e
2. Consideramos un tri´ ngulo equilatero con uno de los lado horizontal, consider´ moslo como base, donde la longitud
a
e
de cada lado es 1 (aunque podr´amos tomar cualquier otra longitud). Si partimos por la mitad por la altura de la
ı
´
base, cualquiera de lostri´ ngulos permite obtener las razones trigonom´ tricas de los angulos 30◦ y 60◦ .
a
e

5.

´
D ETERMINANDO ELEMENTOS DE UN TRI ANGULO

´
Usando trigonometr´a, a partir del conocimiento de la longitud de algunos lados y angulos en un tri´ ngulo rect´ ngulo,
ı
a
a
podemos calcular otros. Aunque no los repasaremos en este curso, algunos resultados como el Teorema del seno o delTeorema del coseno, permiten esto tambi´ n para tri´ ngulos no necesariamente rect´ ngulos.
e
a
a

6.

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L AS PRIMERAS F ORMULAS DE LA TRIGONOMETR´A
I

´
´
La formula fundamental de la trigonometr´a es una version del Teorema de Pit´ goras para un tri´ ngulo rect´ ngulo
ı
a
a
a
´
cuya longitud de hipotenusa 1. Para ello, consideramos un tri´ ngulo rect´ ngulo y la expresion del...