Trigonometria

MATEMÁTICAS I

3.4. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas.


1. Definición


Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales. No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar. Algunas ecuaciones exponenciales requieren, para suresolución, el empleo de logaritmos y por ello se tratarán junto con las ecuaciones logarítmicas.

Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades de los exponenciales y de los logaritmos:
• [pic]
Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.
• [pic]
• [pic]
• [pic]Ejemplos.

1. Resolver [pic]
Solución:
Expresando 1/8 como potencia de 2:
[pic] y aplicando propiedades de la potenciación: [pic]
[pic], igualando los exponentes
[pic], resolviendo la ecuación de segundo grado
[pic] se obtiene la solución de la ecuación
[pic]

2. Resolver [pic]
Solución:
Expresando lo términos en potencias primas de 2, en este caso:[pic]
Aplicando potencia de potencia,
[pic]
Aplicando producto de potencias en forma inversa
[pic]
[pic], esto es ecuación cuadrática cuya variable es [pic]
Se hace el cambio de variable [pic], (por tanto [pic]) y se obtiene:
[pic], al simplificar por 4,
Basta ahora con resolver esta ecuación:
[pic]
[pic]
Se deshace ahora el cambio [pic]:
[pic]. No es posible encontrar unx que verifique esta
condición [pic] es siempre positivo, como característica
del exponencial)
[pic], de donde en potencia prima de 2, se tiene:
[pic], resolviendo para x, igualando los exponentes:
[pic] solución de la ecuación.

3. Resolver [pic]
Solución:
Aplicando las propiedades de las potencias, la ecuación se puede escribir como
[pic]
Sacando factor común 5x yresolviendo las potencias, se tiene:
[pic]
[pic]
[pic], donde desde la teoría de potencias,
[pic], toda base potenciada a cero, es igual a 1.
También, se puede interpretar este resultado aplicando propiedades de los logaritmos:
[pic]
Simplificando el logaritmo y el exponencial por la propiedad, [pic], se tiene:
[pic], por propiedades dellogaritmo:
[pic], el logaritmo en cualquier base de 1, es cero.


4. Resolver [pic]
Solución:
Aplicando las propiedades de los logaritmos a ambos lados, la ecuación se escribe como:
[pic]
[pic], aplicando ley distributiva,
[pic], agrupando términos,
[pic], factorizando,
[pic]
Aplicando propiedades de logaritmo, como [pic], se tiene:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]

5. Resolver [pic]
Solución:
Aplicando las propiedades de las proporciones y de la potenciación, la ecuación se escribe como:
[pic]
[pic], realizando la resta de fracciones
[pic]
[pic]
[pic]
Organizando los términos, se tiene una ecuación cuadrática, que se resuelve por un cambio de variable [pic]:
[pic]
[pic], aplicando fórmula general, se tiene:
[pic]
[pic],luego en el cambio de variable
[pic], aplicando propiedades de logaritmo
[pic]
[pic], ya que [pic], luego:
[pic]
[pic]

6. Resolver [pic]
Solución:
Aplicando las propiedades de las proporciones y de la potenciación, la ecuación se escribe como:
[pic]
[pic], potenciando ambos lados al cuadrado
[pic]
[pic], reescribiendo la ecuación
[pic], factorizando
[pic],luego:
[pic] y también [pic],

Para [pic], aplicando exponenciales en ambos lados,
[pic]
[pic]

Para [pic],
[pic], aplicando exponenciales en ambos lados,
[pic]
[pic]

7. Resolver [pic]
Solución:
Factorizando en el lado izquierdo:
[pic], de donde:
[pic], que es una solución de la ecuación,
[pic], resolviendo para x, [pic], finalmente
[pic], por definición...