Trigonometria

Desarrollo de Expansiones de Angulos Multiples
Erik Piña, erikbds4@hotmail.com December 17, 2012
Abstract Este trabajo se desarrollo con una unica finalidad la cual es demostrar las expansiones de angulos multiples, aquellos se debe presentar en 3 partes cada una de las expansiones las cuales son: a) Demostracion Analitica, b) Demostracion Grafica (con Derive), c) Comprobacion numerica, sepresentaran 5 expansiones con cada una de las demostraciones, todo esto se desarrollara con un fin de demostrar de una mejor manera lo aprendido en clases lo que podemos desarrollar.

1

Expansiones a desarrollarse:
1 1 + cos 2A 2 2 1 1 − cos 2A 2 2

Se mostraran las siguientes expansiones: cos2 A = sin2 A = cos3 A = sin3 A = cos4 A = (1) (2) (3) (4) (5)

3 1 cos A + cos 3A 4 4 1 3 sin A − sin3A 4 4

3 1 1 + cos 2A + cos 4A 8 2 8 1 2 1 + 2 cos 2A

2
2.1

Expansion 1: cos2 A =
Demostracion Analitica:

Comenzamos de la relacion del coseno de la suma de dos angulos cos 2A = cos (A + A) Realizamos la relacion del coseno de la suma de dos angulos 1 (6)

cos 2A = cos A cos A − sin A sin A cos 2A = cos2 A − sin2 A Reemplazamos sin A = 1 − cos A, segun la identidad cos 2A = cos2 A− 1 − cos2 A cos 2A = cos2 A − 1 + cos2 A cos 2A = 2 cos2 A − 1 Despejamos el cos2 A 2 cos2 A = 1 + cos 2A cos2 A = 1 1 + cos 2A 2 2
2 2

(7) (8)

(9) (10) (11)

(12) (13)

2.2
2.2.1

Demostracion Grafica:
Grafica de la funcion y = cos2 A

Figure 1: Grafica de la funcion cos2 A

2

2.2.2

Grafica de la funcion y =

1 2

+

1 2

cos 2A

Figure 2: Grafica de la funcion

12

+

1 2

cos 2A

2.3
2.3.1

Comprobacion Numerica:
Comprobamos para A =
π 6 rad

1 1 + cos 2A 2 2 Reemplazamos el valor del angulo A: cos2 A = π 1 1 π = + cos (2) 6 2 2 6 Calculado estos valores tenemos: cos2 1 1 3 = + 4 2 4 3 3 = 4 4 Se obtuvo la comprobacion.

(14)

(15)

(16) (17)

3
3.1

Expansion 2: sin2 A =
Demostracion Analitica:

1 2

− 1 cos 2A 2Comenzamos de la relacion del coseno de la suma de dos angulos cos 2A = cos (A + A) Realizamos la relacion cos 2A = cos A cos A − sin A sin A 3 (19) (18)

cos 2A = cos2 A − sin2 A Reemplazamos cos2 A = 1 − sin2 A, segun la identidad cos2 A = 1 − sin2 A − sin2 A cos2 A = 1 − sin2 A − sin2 A cos2 A = 1 − 2 sin2 A Despejamos el sin A 2 sin2 A = 1 − cos 2A sin2 A = 1 1 − cos 2A 2 2
2

(20)

(21)(22) (23)

(24) (25)

3.2
3.2.1

Demostracion Grafica:
Grafica de la funcion y = sin2 A

Figure 3: Grafica de la funcion sin2 A

4

3.2.2

Grafica de la funcion y =

1 2

−

1 2

cos 2A

Figure 4: Grafica de la funcion

1 2

−

1 2

cos 2A

3.3
3.3.1

Comprobacion Numerica:
Comprobamos para A =
π 3 rad

1 1 − cos 2A 2 2 Reemplazamos el valor del angulo A sin2 A= π 1 1 π = − cos (2) 3 2 2 3 Calculados estos valores tenemos sin2 1 1 3 = + 4 2 4 3 3 = 4 4 Se obtuvo la comprobacion.

(26)

(27)

(28) (29)

4
4.1

1 Expansion 3: cos3 A = 3 cos A + 4 cos 3A 4

Demostracion Analitica:

Comenzamos de la relacion del coseno de dos angulos cos 3A = cos (A + 2A) Resolvemos la relacion del coseno cos 3A = cos A cos 2A − sin 2A sin A 5 (31) (30)Reemplazamos cos 2A = 2 cos2 A − 1 y tambien se reemplaza sin 2A = 2 sin A cos A, segun la identidad cos 3A = cos A 2 cos2 A − 1 − (2 sin A cos A) sin A cos 3A = 2 cos3 A − cos A − 2 sin2 A cos A Reemplazamos el sin A = 1 − cos A, segun la identidad cos 3A = 2 cos3 A − cos A − 2 1 − cos2 A cos A cos 3A = 2 cos3 A − cos A − 2 cos A − cos3 A cos 3A = 2 cos3 A − cos A − 2 cos A + 2 cos3 A cos 3A = 4cos3 A − 3 cos A Despejamos cos A 4 cos3 A = 3 cos A + cos 3A cos3 A = 1 3 cos A + cos 3A 4 4 (38) (39)
3 2 2

(32) (33)

(34) (35) (36) (37)

4.2
4.2.1

Demostracion Grafica:
Grafica de la funcion y = cos 3A

Figure 5: Grafica de la funcion cos 3A

6

4.2.2

Grafica de la funcion y =

3 4

cos A +

1 4

cos 3A

Figure 6: Grafica de la funcion

3 4

cos A +

1 4...