Trinomio de segundo grado, prof douglas jimenez

EL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO
Douglas Jim´nez[1] e

20 de octubre de 2010

[1]

Universidad Nacional Experimental Polit´cnica (UNEXPO) “Antonio Jos´ de Sue e

cre”

1.

Las gr´ficas a
El trinomio de segundo grado y

 ax2   bx   c

es una de las m´s importantes ecuaciones elementales en dos variables. Puede a reducirse a un binomio o a un monomio escogiendo b  0 o c  0 pero,para poder llamarlo “de segundo grado”, es necesario que siempre sea a $ 0.

El caso m´s sencillo a
Con estas aclaraciones, la forma m´s sencilla del trinomio de segundo grado a es y

 x2 .

Para trazar la gr´fica de la ecuaci´n anterior es bueno hacer las observaciones a o siguientes: x2

 p¡xq2 :

lo cual quiere decir que para cada punto P px, y q de la gr´fica a tambi´n est´ el puntoQ p¡x, y q, el cual es sim´trico de P respecto al eje e a e y. La gr´fica es sim´trica respecto al eje y. a e es decir, y no toma ning´n valor negativo. Esto, unido a lo u anterior garantiza que solo hay gr´fica en el primer y segundo cuadrantes. a y
5 4 3 2 1

x2

¥ 0, dx € R:

y

 x2

¡3

¡2

¡1

O

x
1 2 3

Figura 1: Gr´fica de la ecuaci´n y a o

 x2 .

La gr´fica semuestra en la figura 1 y se llama par´bola. El lector puede comproa a bar como ejemplo algunos puntos particulares en la par´bola, digamos: p0, 0q, a  c ¨ e a a p1, 1q, 2, 2 , p2, 4q y sus sim´tricos. El punto m´s bajo de la gr´fica es el 1

origen O p0, 0q y se llama v´rtice de la par´bola: su ordenada es el valor m´ e a ınimo de las ordenadas de todos los puntos de la gr´fica. a Si consideramos laecuaci´n o y

 ¡x2 ,

su gr´fica se obtiene reflejando la par´bola anterior respecto al eje x y quea a dar´ como en la figura 2. El v´rtice sigue siendo el origen pero, en este caso, es a e

¡3

¡2

¡1

O

1

2

3

x

¡1 ¡2 ¡3 ¡4 ¡5
y

y

 ¡x2

Figura 2: Gr´fica de la ecuaci´n y a o

 ¡x2 .

el punto m´s alto de la gr´fica: su ordenada es el valor m´ximo de lasordenadas a a a de todos los puntos de la gr´fica. a

Dilataci´n y contracci´n de la gr´fica o o a
Podemos modificar ligeramente la ecuaci´n original y o por un n´mero α ¡ 0: u y  αx2 .

 x2

multiplicando

El efecto sobre la gr´fica original es el de dilatarla (abrirla) o contraerla (cerrara la), de acuerdo al siguiente esquema: Dilataci´n: si 0   α   1 o Contracci´n: si α ¡ 1 o

El lectorpodr´ convencerse de la veracidad de lo anterior analizando el efecto a que tiene sobre las ordenadas multiplicar por α en cada caso. De todas maneras un par de ejemplos ayudan a comprender mejor; en la figura 3(a) vemos la 1 gr´fica de la ecuaci´n y  x2 , mientras que la parte (b) de la misma figura a o 2 2

y
5 4 3 2 1 y
1  2 x2

y
5 4 3 2 1

y 2x2



¡3 ¡2 ¡1

x
O 1 2 3

(a): y 1 x2 2

¡3 ¡2 ¡1

x
O

(b): y

 2x2

1

2

3

Figura 3: Dilataci´n y contracci´n de y o o nos muestra la gr´fica de y a punteada de y  x2 .

 x2 .

 2x2 . Ambas las hemos acompa˜ado de la gr´fica n a

A la gr´fica la seguimos llamando par´bola y su v´rtice sigue siendo el origen a a e de coordenadas. Si fuera α   0 todo lo anterior ser´ v´lido pero en la parte ıa anegativa del eje y, por lo que las gr´ficas correspondientes ser´ las sim´tricas a ıan e de las anteriores respecto al eje x.

Desplazamiento horizontal
Las par´bolas pueden moverse a la izquierda o a la derecha, simplemente a restando cierta cantidad a la abscisa x; esto nos conduce a ecuaciones del tipo y y el deplazamiento es: A la derecha: si β A la izquierda:

 αpx ¡ β q2 ,

¡ 0. si β  0.

Las afirmaciones anteriores pueden justificarse observando que si x  β entonces y  0, por lo cual el v´rtice de la par´bola se traslad´ hacia el punto e a o pβ, 0q. En la figura 4 se observan las gr´ficas de a y

 2px ¡ 1q2

y

y

 ¡ 1 px   2q2 , 2

la primera es el desplazamiento de y  2x2 una unidad a la derecha, mientras 1 que la segunda es el desplazamiento de y  ¡ 2 x2 dos...