Técnicas de Conteo

Unidad 1.- Técnicas de Conteo
El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Principio Aditivo
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formasalternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de la siguiente manera:
M + N +.........+ W maneras o formas

Ejemplo:Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presentaen tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Númerode maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora.
Principio Multiplicativo
Si se desea realizar una actividad que consta de R pasos, en donde el primer paso dela actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a cabo. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a cabo, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de N1 maneras diferentes, el evento E2 puedeocurrir de N2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de Np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.
N1 x N2 x..........x Nr maneras o formas
Ejemplo:
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puedeorganizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2?
Respuesta: (3) (4) = 12

Notación Factorial
Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n, al producto de todos los naturales desde 1 hasta n. Que de un modo resumido, se puede expresar como:

Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factorialespor recursividad.
 
Por ejemplo:
5! = 5·4·3·2·1 = 120

Permutaciones
La permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos.
La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:
n P r =           n!_____ 
               (n – r )!
Donde:
nPr: es el número de permutaciones posibles
n: es el número total deobjetos
r: es el número de objetos utilizados en un mismo momento
Ejemplo:
Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?
n P r =     n!        =         8!        =    8!     = 336
              (n – r)!   ...