U2 Matrices y determinantes
Dpto. Ciencias Básicas – Matemática I y II
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. MATRICES
DEFINICION: Se llama MATRIZ a todo cuadro de números distribuidos en filas y columnas.
NOTACION: Generalmente, una matriz se nombra por una letra mayúscula y sus elementos,
una vez distribuidos en las filas y columnas respectivas, se encierran concorchetes o con
paréntesis, así:
a11 a12 a1n
a 21 a 22 a 2 n
A=
;
a m 1 a m 2 a mn
a11 a12 a1n
a 21 a 22 a 2n
o así: A =
a m 1 a m 2 a mn
En estas notas usaremos preferentemente los corchetes.
ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz es el número de filas y de columnas que tiene esa matriz.
Si el número defilas de una matriz A es "m" y el de columnas es "n", se suele anotar Amxn,
leyéndose "matriz A de orden m por n".
ELEMENTO GENERICO
El símbolo "aij", llamado elemento genérico de una matriz, se usa para indicar que el elemento
por él designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i" y a la columna "j".
En consecuencia, una anotación del tipo "a23" debe interpretarse que se trata del elemento"a",
que ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 y a la columna 3.
OTRA NOTACION DE UNA MATRIZ
Para el caso de una matriz A con m filas y n columnas, se debe entender que i varía desde 1
hasta m y que j varía desde 1 hasta n (siendo i y j variables en el conjunto de los números
naturales).
Por ello, otra forma de anotar una matriz A, de m filas y n columnas, que tiene como elemento
genérico a aij,es:
Amxn = (aij)
(i= 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n)
a11
a 21
Así, la matriz A =
a 31
a 41
a12 a13
a 22 a 23
a 32 a 33
a 42 a 43
puede anotarse de esta forma:
A4x3 = (aij)
(i= 1, 2, 3, 4; j= 1, 2, 3)
MATRICES IGUALES
DEFINICION: dos matrices son iguales si y sólo si
i) son del mismo orden
ii) los elementos homólogos son respectivamente iguales.
En símbolos: A =B aij = bij, i,j
CLASIFICACION DE LAS MATRICES POR SU ORDEN
Por su orden ( o dimensión), las matrices se clasifican en:
a) rectangulares
b) cuadradas.
Sea Amxn ;
si m n, la matriz se dice rectangular;
si m = n, la matriz se dice cuadrada.
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
a 41 a 42 a 43
matriz rectangular
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
matriz cuadrada
MATRICES ESPECIALES
Matriz fila: es la matriz que tiene una sola fila.
Ejemplo:
B = b11 b12 b13= ( b1j )(j = 1, 2, 3)
Matriz columna: es la matriz que tiene una sola columna.
Ejemplo:
c11
C = c 21 = ( ci1 ) (i = 1, 2, 3)
c31
CARACTERIZACION DE LAS REGIONES DE UNA MATRIZ CUADRADA
Por el comportamiento de los subíndices i y j de un elementodel tipo aij de una matriz cuadrada
cualquiera, es posible caracterizar tres regiones en ella:
1)
los elementos aij tales que i=j, forman la diagonal principal
2)
los elementos aij tales que i
3)
los elementos aij tales que i>j, forman el triángulo inferior.
MATRICES TRIANGULARES
Si en una matriz cuadrada es:
aij = 0 , i
La que sigue es una matriz triangular superior de orden 4:
0
0
0
a11
0
0
a 21 a 22
A=
0
a31 a 32 a 33
a41 a 42 a 43 a 44
Si en una matriz cuadrada es:
aij = 0 , i>j
se dice que la matriz es triangular inferior.
La que sigue es una matriz triangular inferior de orden 4:
a11 a12 a13
0 a 22 a 23
B=
0 a 33
0
0
0
0
a14
a 24
a34
a44 MATRIZ DIAGONAL
Se llama matriz diagonal a toda matriz que es simultáneamente triangular superior y triangular
inferior.
Es inmediato que, en una matriz diagonal, es
aij = 0 , ij .
El siguiente es un ejemplo de matriz diagonal:
0
0
0
d 11
0
0
0 d 22
D=
0 d 33
0
0
0
0 d 44
0
MATRIZ ESCALAR
Se llama matriz escalar a toda matriz diagonal en la que:
d11=d22=d33= ... =...
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