UCLM TEMA3

TEMA III

MODELADO MATEMÁTICO
DE SISTEMAS FÍSICOS
1.-Introducción.
2.-Sistemas eléctricos. Ecuaciones.
3.-Sistemas mecánicos:
3.1.-Movimiento de traslación.
3.2.-Movimiento de rotación.
3.3.-Conversión entre movimientos de traslación y rotación.
3.4.-Ecuaciones.
4.-Linealización de sistemas no lineales.
5.-Retardos.

-2- Modelado matemático de Sistemas Físicos

1.-Introducción.
No cabe duda deque las matemáticas son la herramienta imprescindible
para el estudio de cualquier sistema físico. A la hora de abordar cualquier
análisis o diseño del mismo, será previamente necesario elaborar un modelo
matemático que se ajuste lo más fielmente al sistema real a estudiar, utilizando
para ello las leyes físicas aplicables de que dispongamos o, en su defecto,
resultados experimentales debidamentetratados. Generalmente, lo que
obtendremos será un conjunto de ecuaciones diferenciales (no necesariamente
lineales ni invariantes en el tiempo). Que podremos tratar mediante alguno de
los métodos ya conocidos:
a)Usando las Funciones de Transferencia (solamente si el sistema es
lineal e invariante con el tiempo).
b)Utilizando las Ecuaciones de Estado (que también pueden aplicarse a
los sistemas nolineales).
El procedimiento habitual será establecer primeramente las variables
que intervienen en el proceso para, posteriormente, interrelacionarlas entre sí,
mediante las leyes físicas que regulan esas situaciones.
En este capítulo, vamos a realizar una pequeña introducción al
procedimiento indicado, sin profundizar exhaustivamente en el mismo (este
proceso debe ser realizado en detalle por elingeniero de control, que no es al
que va enfocado este texto). Sirva pues, solamente para tomar algunos
conceptos intuitivos al respecto, sin mayores expectativas.
Por la misma razón que la apuntada en el párrafo anterior, tampoco
vamos a tratar con sistemas no lineales, aunque apuntaremos la forma de
“linealizar” un sistema (siempre y cuando esto sea posible) cuando el caso lo
requiera.
Porúltimo vamos a comentar algo que, aunque tampoco vamos a tratar
con detalle, sí que es interesante, por los inconvenientes que puede ocasionar
en algunos sistemas reales, como son los “retardos”.

2.-Sistemas eléctricos. Ecuaciones.
Dado el enfoque al que va destinado este texto, se suponen de sobra
conocidos por el lector todo el tratamiento de cualquier tipo de circuito eléctrico,
tanto en el dominiotemporal (mediante ecuaciones diferenciales), como en el
de Laplace (usando la Transformada de Laplace). En cualquier caso, las
herramientas utilizadas (y sobre las que se basa cualquier otro posible método
concreto) serán siempre la Ley de Ohm generalizada (entiéndase por esto, la
ley matemática que relaciona las variables tensión / corriente, por un elemento)
y los dos lemas de Kirchhoff, a loque podemos añadir (si el circuito es lineal),

Modelado matemático de Sistemas Físicos -3el Principio de Superposición (se remite al lector a cualquiera de los textos
recomendados en la asignatura de Circuitos II).
Así, cualquier sistema eléctrico podrá venir dado como un conjunto de
ecuaciones diferenciales, que podrán transformarse sin problemas en un
sistema de ecuaciones de estado o bien (siel sistema es lineal), en una (o
varias) función de transferencia que determina unívocamente al sistema.

3.-Sistemas mecánicos.
La gran mayoría de los sistemas de control incorporan tanto sistemas
eléctricos como mecánicos (además, en menor cuantía, también pueden incluir
sistemas neumáticos e hidráulicos). Sabemos que existe una analogía total
entre estos dos tipos de sistemas, de forma que deun circuito eléctrico siempre
podemos obtener uno análogo mecánico y viceversa (es obvio que la analogía
se entiende en cuanto a la forma de las ecuaciones obtenidas, naturalmente,
las variables eléctricas y mecánicas son sustancialmente distintas).
En este apartado tendremos que distinguir entre movimientos de
rotación y de traslación, así como posibles combinaciones.
Ahora las leyes que...