UNICIDAD DEL LIMITE DE FUNCIONES DE DOS Y TRES VARIABLES

UNICIDAD DEL LIMITE DE FUNCIONES DE DOS Y TRES VARIABLES. OTRAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES DE FUNCIONES EN DOS VARIABLES. CONTINUIDAD EN LAS FUNCIONES DE DOS Y TRES VARIABLES.






PRESENTADO POR:
ARLEN FABRICIO PEREZ E ILIN MAURICIO AGUILAR






CATEDRATICO:
NELSON DANILO LOPEZ





ASIGNATURA:
ANÁLISIS REALUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZÁN FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
CENTRO DE EDUCACIÓN A DISTANCIA PROFESORADO DE MATEMÁTICA EN EL GRADO DE LICENCIATURA LA CEIBA,ATLANTIDA
ABRIL 2015






Resumen
En este informe que presentamos a continuación nos adentramos en el estudio de los límites y continuidad de funciones de dos y tres variables y sus propiedades, partiendo de la definición que el límite de una función de una variable involucra la distancia entre dos puntos de la recta numérica real.
El límite de una función de más de una variabletambién implica la distancia entre dos puntos; por lo que en este estudio involucramos la definición de la distancia entre dos puntos.
Para el estudio del límite de funciones de una variable independiente, henos visto que el problema se reduce a observar cómo se comporta la función al acercarnos a un punto del dominio por derecha e izquierda, moviéndonos en general, sobre la recta o cualquierrecta o parábola que contenga al origen.










Tabla de Contenidos

Resumen ii
Capítulo 1 1
Unicidad del límite de funciones de dos y tres variables. 1
Demostración: 3
Capítulo 2 4
Otras propiedades de los límites de funciones en dos variables. 4
Definición del límite de una función de dos variables. 4
Ejemplo. 5
Teorema 1 7
Teorema 2 7
Definicion del limite de una función de dosvariables a traves de un conjunto especifico. 7
Ejemplo 1 8
Ejemplo 2 10
Ejemplo 3 11
Continuidad 13
Ejemplo 13
Capítulo 3 Resultados y discusión. 15
Referencias bibliográficas 17

Capítulo 1
Unicidad del límite de funciones de dos y tres variables.

En el caso de funciones de dos y tres variables independientes, para acercarnos a un punto del dominio, tenemos infinitas opciones, infinitoscaminos para llegar a él. Y es justamente esto, lo que hace complejo el estudio del límite de funciones de dos variables y tres variables, pues si recordamos ´´la unicidad del límite´´, propiedad vista para funciones de una variable, y también válida para funciones de n variables, ´´si el límite existe, es único e independiente del camino utilizado´´ y nunca podremos verificar que por todas estasopciones, llegamos al mismo resultado.

Es por eso, que solamente si el límite hallado verifica la definición, podremos asegurar la existencia del límite.
(ing.unne.edu.ar)

Comenzamos definiendo el siguiente teorema: el límite de una función si existe en un punto , es único. (Gonzales, 2004)

El teorema anterior nos habla sobre la unicidad del límite de una sucesión el cualestablece que si una sucesión tiene límite, este límite es único, es decir:




La demostración se hace por reducción al absurdo. Suponemos que tiene dos límites distintos b y c.

Suponemos que .
( por definición de limite finito de una sucesión)
( por definición de limite finito de una sucesión)

Ahora consideremos un tal que o sea




Luego sea para todo se cumple


Esabsurdo pues no puede pertenecer a dos entornos disjuntos, absurdo de suponer que (matematica.50webs.com/sucesiones)



Demostración:
Sea entonces:
(1)
(2)
Luego a la expresión se le suma y resta se obtiene:

Luego por la desigualdad del triángulo: resulta:

Por (1) y (2) se obtiene:


El único número no negativo que es menor a otro positivo por pequeño que sea es el cero....