Funciones de dos variables





INTRODUCCION
En las Ciencias Experimentales es muy frecuente que tengamos interés en poder expresar una variable (variable respuesta o variable dependiente) en función de dos o más variables (variables explicativas o variables independientes).
El modelo matemático adecuado para expresar una variable en función de otras variables es la función de varias variables. Igual que ocurría conlas funciones de una variable, algunas de las herramientas asociadas a este modelo nos permiten abordar y expresar muchos aspectos interesantes de la relación existente. Para lo cual nos centraremos en las herramientas más sencillas para explicar las derivadas parciales, su interpretación geométrica, económica y el grafico de las funciones con 2 o más variables.
FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLESLa función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), yen forma gráfica (por medio de una gráfica).
1.
f(x, y) = x – y
Función de dos variables

f(1, 2) = 1 - 2 = -1
Sustituya x por 1 y y por 2

f(2, -1) = 2 - (-1) = 3
Sustituya x por 2 y y por -1

f(y, x) = y – x
Sustituya x por y y y por x
2.
h(x, y, z) = x + y + xz
Función de tres variables

h(2, 2, -2) = 2 + 2 + 2(-2) = 0  
Sustituya x por 2, y por 2, y z por -2.

DERIVADASPARCIALES
El concepto de derivada parcial permite estudiar el cambio que se produce en una función al modificar una de las variables, considerando las demás como constantes. Esto es, hacemos la derivada de la función f cada vez con respecto a una variable independiente, manteniendo constantes las demás. Este proceso se conoce como derivación parcial, y su resultado se refiere como la derivadaparcial de f con respecto a la variable independiente elegida.
Esto indica que si z = f(x,y), entonces tendremos dos derivadas parciales:
Derivada parcial fx, donde para derivar consideramos que y es constante y derivamos respecto a x.
Derivada parcial fy, donde para derivar consideramos que x es constante y derivamos respecto a y.
Como derivamos respecto a una sola variable se mantienen todas lasreglas de derivación de funciones de una variable.
DERIVADAS IMPLICITAS
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero. Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizandolas reglas vistas y al derivar y aplicar la regla de la cadena.





NOTACIÓN PARA DERIVADAS PARCIALES PRIMERAS
Siendo z = f(x,y) las derivadas parciales pueden escribirse:
fx(x,y) = zx = =
fy (x, y) = z y = =
Ejemplo 1
Calcular fx y fy para f(x,y) = 3x – x2y2 + 2x3y
Considerando y constante y derivando con respecto a x, tenemos: fx(x,y) = 3 – 2xy2 + 6x2y
Considerando xconstante y derivando con respecto a y, tenemos: fy(x,y) = – 2x2 y + 2x3
Ejemplo:   
Para ello recordemos que la derivada de la función  z = eu  es:   z’ = u’ . eu , siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante).
Así tenemos:



INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADAPARCIAL EN UN PUNTO

Si consideramos la superficie que tiene por ecuación z = f(x, y), el plano y = b, corta a la superficie en la curva z = f(x, b), que tiene por pendiente en el punto x = a, el valor de su derivada en dicho punto, que es precisamente:

fx(a, b) =









Análogamente, si cortamos la superficie por el plano x = a, se obtiene la curva z =f(a,y), que tiene por...