UNIDAD 1

Fundamentos de Matemática

Área Matemática
UNIDAD 1

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Conjuntos, relaciones y funciones
 Conjuntos. Operaciones con conjuntos. Particiones. Producto
cartesiano.
 Relaciones. Relaciones de orden y equivalencia. Conjunto cociente.
Construcción de  y  como conjuntos cociente.
 Funciones. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
Composición de funciones y función inversa.Consideraciones iniciales
-

El siguiente material tiene por objeto ser un apoyo para los estudiantes que
cursan Fundamentos de Matemática del profesorado de Matemática en el
marco del Plan Único de Formación Docente (Plan 2008).
Muchas partes son transcripciones del libro “Álgebra I” de Armando Rojo por
entender que las ideas que se tratan en esta unidad están claramente
expuestas por dicho autor en suobra.
Por otro lado se agregaron algunos ejemplos, y propiedades que no aparecen
en el libro antes mencionado tratando de ajustar este material de mejor manera
al espíritu del programa vigente

Introducción
Esta teoría fue desarrollada por Boole y Cantor a fines del siglo XIX, ha tenido una
profunda influencia en el desarrollo de la Matemática en el siglo XX. Ha unificado
muchas ideas aparentementeinconexas y ha contribuido a reducir gran número
de conceptos matemáticos a sus fundamentos lógicos por un método elegante y
sistemático. Durante los años en que estableció las bases de dicha teoría Cantor
tuvo que emplear grandes esfuerzos en dos frentes diferentes:
1) Convencer sobre la validez de su teoría.
Kroneker, entre otros, sostenía el punto de vista que tanto la aritmética como el
análisisdebían fundamentarse en los números enteros y por lo tanto se oponían a
la teoría de conjunto.
Otros matemáticos defendieron la teoría de conjunto con el alemán David Hilbert
(1862-1943) quien en cierta ocasión exclamó, “nadie nos expulsará del precioso
paraíso que Cantor ha creado para nosotros”
2) Corregir los resultados de su teoría.
Hasta fines del siglo XIX la noción de conjunto parecíaintuitiva. La utilización de
conjunto sin la ayuda de reglas precisas conducirán a la teoría de conjuntos hacia
la paradoja. Algunas de esas paradojas provocan una crisis en la Fundamentación
de la teoría.
Un estudio riguroso de la teoría de conjunto requeriría una amplia discusión que
consideramos fuera del alcance de este curso. Por fortuna las nociones básicas
son un número reducido y es posibledesarrollar un conocimiento práctico de los
métodos e ideas de la teoría de Conjunto a través de una discusión informal.

Ce.R.P Centro

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Prof. Ariel Mazza

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Nociones Básicas
Como ya dijimos haremos un desarrollo intuitivo de la teoría de conjuntos. En este
sentido los términos “conjuntos”, “pertenencia” y “elementos” son considerados
como primitivos.
EnMatemática, la palabra “conjunto” se emplea para representar una colección de
objetos considerada como una sola entidad. Los objetos que constituyen la
colección se llaman “elementos” o miembros del conjunto y de ellos se dice que
“pertenecen” al conjunto. A su vez se dice que el conjunto contiene o está
compuesto de sus elementos.
Notaciones
 Para denotar conjuntos utilizaremos generalmenteletras mayúsculas A, B,
C,..... y para especificar elementos se usarán letras minúsculas a, b, c,........
salvo que dichos elementos sean a su vez conjuntos.
 Para indicar la pertenencia de un elemento a un conjunto se utilizará la
notación
aA
se lee “ a pertenece a A” o bien “el elemento a pertenece al conjunto A”
 Si “a no pertenece a A” se escribirá a  A
 Si el conjunto A esta formado por loselementos a, b y c escribiremos
A  a, b, c en este caso se nombran todos los elementos del conjunto y se
dice que está determinado por extensión.
 Un conjunto esta determinado cuando dado cualquier objeto puedo decidir si
pertenece o no al conjunto.
 Sea un conjunto B  2, 1,0,1,2 es fácil ver que se trata del conjunto de los
números enteros cuyo valor absoluto es menor que 2. En este...