Unidad 2 mate

UNIDAD II.

INTEGRAL INDEFINIDA.
La constante arbitraria “c” se llama constante de integración y es una cantidad independiente de la variable de integración, puesto que podemos dar a “c” cuanto valores queramos, se sigue que si una expresión diferencial dada tiene una integral, tiene una indefinida de integrales que difieren solo en constantes. Por tanto:
∫=f1(x)dx=f(x)+c.
Y puesto que c esdesconocida e indefinida, la expresión f(x)+c se llama la integración indefinida de f1(x)dx.
FUNCIÒN PRIMITIVA.
Toda función f(x) que verifique la relación f1(x)=f(x) Vx+∑{a,b} se llama función primitiva de la función f1(x).
Toda función d f(x) continúan en {a,b} tiene por lo menos una primitiva.
Teoremsi f(x) posee una primitiva posee posee infinitos.
Si f(x) es una primitiva de f(x) laformula general de las infinitas primitivas de f(x) es f(x)+cV∑(números reales).
Propiedades de la integral indefinida.
d/dx∫f(x)dx=∫d/dx(f(x))dx=f(x).
∫(f(x))=g(x)=…=(h(x))dx.
∫f(x)dx=∫g(x)dx…=
∫h(h).dx
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k=constante.)
Las integrales que figura en este tema son inmediatas, es decir para efectuar la integración noy hay que hacer cambio alguno en el integrando, en cada una laantidiferencial es la función cuya diferencial se obtuvo en la mayoría de los casos al buscar una formula aplicable de la diferenciación de las funciones análogas a que ya función.
Las siguientes formulas facilitan el calcula de las integrales indefinidas:
2.∫kdx=0.
a.) ∫5dx=0.
b.) ∫√18dx=0.
c.) ∫-(3)dx=0.
d.) ∫(√3/5)/5dx=0.
2.∫dx=x.
a). ∫dy=y.
b). ∫dh=h.
c). ∫dz=z.
e). ∫dx=x.3.∫xndx=xn+1/n+1+c.
a). ∫x5dx= x5+1/5+1=x6/6+c.
b). ∫x--3dx= x--3+1/-3+1=1/2x2+c.
c). ∫x1/2dx= x1/2+1/1/2+1=x3/2/3/2+c.
g). ∫√x(12x-5)dx=
∫(12x3/2-5x1/2)dx=12∫x3/2dx-5∫x1/2dx=12x5/2/5/2-5x3/2/32=24x5/25-10x3/2/3+c.
h). ∫(x-2)2/ 3√x=
∫(x2-4x+4)/x1/3dx=∫(x5/3-4x2/3+4x-1/3)dx=3x8/3/8-12x5/3/5+6x2/3+c.
i). ∫3x3-7x2/√3dx=∫x3-7x2/x1/2=∫3x3/x1/2dx-∫7x2/x1/2dx=3∫x5/2dx-7∫x3/2=6/7x7/2-14/5x5/2+c.
* ∫e√xdx/√x=formula: ∫eudu=eu+c.
U=3√x=x1/3.
Du=1/3x1/3-1dx=dx/2√x.
∫e√xd/x/√x=2∫e√xdx/2√x=2e√x+c.
* ∫senx/3dx. Formula: ∫senudu=-cosu+c ; ∫cosudu=senu+c.
U=x/3.
Du=1/3dx;dx/3.
∫senx/3.1/3dx=3(-cosx/3)+c=-3cosx/3+c.
Cuando integres una expresión cociente Q(x)/g(x) debes verificar que Q(x)es menor a g(x), en este caso debemos dividir algebraicamente, puesto que el grado delnumerador es mayor de el del denominador.
∫x3+1/x-3dx=
X3/x=x2
3x2/x=x2.
9x/x=9.
Significa:
∫x3+1/x-3dx=∫{x2+3x+928/x-3}dx= ∫x2dx+3∫xdx+9∫dx+28∫dx/x-3=
-1/3x3+3/2+9x+lnIx-3I28+c.
* ∫secx/adx;
∫secudu= ln(senu+tanu).
Análisis:
U=x/a.
Du=dx7a o 1/adx.
∫secx/adxa ∫secx/a.1/adx=
Aln(secx/a+tanx/a)+c=ln(secx/a+tanx/a)a+c.
* ∫cscx2cotx2axdx;
∫cscucotudu=-cscu+c.
Análisis:
U=x2.Du=2xdx.
∫cscx2cotx2axdx=1/2a∫cscx2cotx22xdx=
1/2a(-cscx2)+c.
-1/2ª(cscx2)+c.
* ∫2xdx/√9-x4.
Análisis:
A2=9 ; a=3.
U2= x4 ; u=x2.
Du=2xdx.
∫2xdx/√9-x4=
∫2xdx/√9-x4=arcsenx2/3+c.
* ∫2dx/3-x2=;
∫du/a2-u2+c.
Análisis:
A2=3 ; a=√3.
U2=x2 ; u=x.
Du=dx.
∫2dx/3-x2=2∫dx/3-x2=
2{1/2(√3)ln√3+x/√3-x}+c
lnI√3+x/√3-xI1/√3+c.
Integración por partes.
Sean u y v funciones dadas de lavariable x, tales que seancomparables con la formula de la diferencial del producton entonces:
D(u.v)udv+vdu.
Integrando, tenemos.

y=f(x)
y=x.


∫duv=∫udv+∫vdu.
Despejando ∫udv, tenemos.
∫udv=uv-∫vdu.
Procedimiento para integrar por partes.
Paso1.
Dada la integral ∫udv se selecciona u y dv.
Paso 2.
La función debe ser variable de dv debe ser un termino que se pueda integrar fácilmente.Paso 3.
En la formula de integración por partes, se sustituyen los datos del paso anterior que
∫vdu no debe ser as complicada que ∫udv.
En la integración por partes suele presentarse un problema a la hora de seleccionar los elementos de u y dv ya que el proceso de derivar generalmente no ofrece ninguna dificultad pero el de integrar asi.
A continuación se muestra algunos ejemplos...