unidad 4 calculo vectorial


Instituto Tecnológico de Cerro Azul
CARRERA:
Ingeniería en sistemas computacionales
MATERIA:
Calculo vectorial
GRUPO:
ag3
UNIDAD:
4
TEMA:

Funciones reales de varias variables


































4.1 Definición de una función de varia variables
La explicación y uso del mundo natural y social han planteado,sin embargo,la necesidad de considerar funciones de más de una variable. Por ejemplo,considere el volumen de un cilindro circular recto:
V =  r 2 h
El volumen depende de r y de h. Por eso se puede escribir
V ( r, h) =  r2h
Es decir, como una función de dos variables r y h.
V : (r,h)  r2 h
Por ejemplo:
V (1,2)= 
1 2. 2 = 2
Los ejemplos son muchísimos:
V (x, y, z ) = x
2+y2+z2
Esuna función de tres variables: x, y, z.En general, se puede hablar de funciones de varias variables.
Funciones de dos variables
En el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener unarepresentación gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable.Sin embargo, la representación se hace en el espacio (en 3 dimensiones) y noen el plano. En lugar de dos ejes de coordenadasx, y:se tienen 3 ejes de coordenadas x, y y z:Por ejemplo, si
z = f (x) =
Se obtiene la mitad de la superficie de la esfera de radio r = 3, y con centroen el punto origen (0, 0,0) (figura 9.14).
o
Nota: La ecuación
z2= 9 - x 2-y2,
o bien:
z2+x2+y2= 3 2

Brinda la superficie de la esfera completa.Otro ejemplo: sea f(x,y) =
Esto representa un plano paralelo al plano xy (constituido portodos los puntos (x,y,1)).Es interesante señalar que a las funciones de varias variables se les puede aplicar también los métodos del Cálculo Diferencial e Integral, con algunas modificaciones.






4.2 Gráfica de una función de varias variables












Solución
Para hallar el dominio de recuerde que el argumento de una raíz cuadradadebe ser positivo o cero :Lo cualcorresponde al interior de un círculo de radio 3, como se muestra en lafigura 1.Figura 1: dominio de
f(x,y)
Para hallar el dominio de recuerde que en un cociente el denominador nopuede ser cero, por lo que el argumento del radical debe ser positivo :Lo cual corresponde al exterior de la parábola , sin incluir la parábolamisma, esto se muestra en la figura 2.

Figura 1: dominio de
g(x,y)
Lasfunciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que lohacemos con las funciones de una variableSuma y resta:Producto:Cociente:La función compuesta dada por se define solamente si es unafunción de dos variables y una función de una única variable. En este casoPara todo par en el dominio de . Por ejemplo, la funciónPuede verse como la composición de la función de dos variablesy lafunción de una variable

Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma(donde es un número real, son enteros positivos) se conoce como funciónpoli nómica de dos varibles.Por ejemplo, la funciónes una función poli nómica.Y una función racional es el cociente de dos funciones poli nómicas.






4.3 Curvas y superficies de nivel

El conjunto de parejas ordenadas x,y sellama dominio de la función y el conjunto de valores correspondiente a z se llama contra dominio, rango, ámbito. Una función de dos variables se escribe z = “f(x,y) de x, y”.

Las variables x, y se denominan variables independientes y z la variable dependiente.
La gráfica de una función Z es una superficie del espacio tridimensional. El potencial electrostático en un punto P(x,y) del plano debidoa una carga puntual unitaria, colocada en el origen está dada por:



Donde C es una constante positiva, las líneas o curvas equipotenciales son círculos alrededor de la carga y se les denomina curvas del nivel

Las curvas de nivel se usan en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración.
En los mapas meteorológicos o climáticos, las curvas de nivel se llaman isotérmicos...