Unidad 4 calculo vectorial























4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

INDICE 4






4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
4.1. Definición de una función de dos variables
La primera parte de esta asignatura se ha centrado en el estudio de las funciones de una variable,


Lo que sigue ahora, es el estudio de las funciones de dos variables.



Estasfunciones se representan a menudo mediante el símbolo z = f(x,y).

Una función de dos variables tiene como dominio parejas de números (así que se le asignará un número nuevo a cada una de estas parejas). En general, el dominio de una función con n variables (n ≥ 1) está formado por puntos con n coordenadas, y la función asocia a cada punto un número real determinado.

Una función con nvariables es una regla f que asocia a cada punto (x1, x2, . . . , xn) dentro de un determinado conjunto D un número real f(x1, x2, . . . , xn). El dominio D es un subconjunto de Rn, es decir, está formado por puntos con n coordenadas. Representaremos esta función escribiendo:



Cuando queramos indicar la acción de la función sobre un punto, entonces escribiremos:



4.2. Gráfica de unafunción de dos variables
La grafica de una función de dos variables es el conjunto de puntos (x,y,z)
tales que . Es decir,



La grafica de una función de dos variables z = f(x, y) puede interpretarse geométricamente como una superficie S en el espacio de tal forma que su proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. En consecuencia, a cada punto (x,y) en D le corresponde unpunto (x,y,z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y) en D.



4.3. Curvas y superficies de nivel
MAPAS DE ALTURAS Y CURVAS DE NIVEL
La grafica de una función h de una sola variable es la representación de un conjunto de puntos de la forma (x, y) tales que y = h(x). Cuando tenemos una función f de dos variables, la graficatiene que representar conjuntos de puntos de la forma (x, y, z) tales que z = f(x, y). Por este motivo, para representar la grafica de una función de dos variables necesitamos tres dimensiones. En el caso de la grafica tridimensional, partimos de tres ejes perpendiculares entre sí: en los dos ejes horizontales representamos las variables x e y, y en el eje vertical representamos los valores z quetoma la función.


Hemos denominado los ejes con las letras X, Y y Z, respectivamente. A cada valor de las variables x e y le corresponde un punto (x, y) del plano que se encuentra en la base. Por ´ ultimo, la función f asocia un valor z = f(x, y) al punto (x, y).

Con la grafica nos podemos imaginar el grafo de una función de dos variables como una sábana por encima (o por debajo, si lafunción toma valores negativos) del plano donde están los puntos (x, y). También podemos establecer un símil con una montaña, de forma que para describir el comportamiento de la función nos interesará saber si la pendiente es muy fuerte o no en una determinada dirección, junto con donde se encuentran las cumbres y los valles. Una última manera, que nos resultará intuitiva para otros propósitos comoveremos más adelante, es considerar la grafica de la función como si se tratase de la superficie de un pastel que hemos colocado sobre el plano donde están las variables x e y (de ahora en adelante lo llamaremos plano XY).

Es probable que los aficionados al excursionismo estén familiarizados con los mapas topográficos, donde se indican las alturas de los puntos mediante una serie de curvasque conectan puntos de una misma altitud. Estas curvas se conocen como curvas de nivel, porque como su propio nombre indica, si seguimos una de ellas nos mantenemos en el mismo nivel. Una de las formas posibles de imaginarnos la grafica de una función de dos variables es como si fuese una montaña (o, mejor dicho, como una región con accidentes geográficos: montañas y valles). No tenemos que...