Unidad 6 mate 5 ecuacion de derivadas parciales

ECUACION EN DERIVADAS PARCIALES

En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estardistribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.
Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:
[pic]
donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamenteindependientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:
[pic]
donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es
[pic]
que tiene la siguiente solución
[pic]
Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de lasecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencilloanterior, la función f(y) puede determinarse si u se especifica sobre la línea x = 0.
CLASIFICACION DE LAS EDP DE SEGUNDO ORDEN

Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos:

|Ecuación |Nombre |Tipo |
|[pic]|Laplace |Elíptica |
|[pic] |Onda |Hiperbólica |
|[pic] |Difusión |Parabólicas |
|[pic] |Helmholtz |Elíptica |

Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:
[pic]
• se dice que es elíptica si la matriz [pic]tiene undeterminante mayor a 0.
• se dice que es parabólica si la matriz [pic]tiene un determinante igual a 0.
• se dice que es hiperbólica si la matriz [pic]tiene un determinante menor a 0.
EDP de orden superior [editar]
Si bien las EDP de segundo orden rigen una inmensa cantidad de fenómenos físicos, otra cantidad no tan grande es regida por EDP de órdenes superiores, como ejemplos podemos citar:• Flexión mecánica de una lámina elástica:
[pic]
• Vibración flexional de una viga:
[pic]
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ECUACIONE ELIPTICA EN DERIVADAS PARCIALES

Una ecuación eliptica en derivadas parciales de segundo orden es una ecuación diferencial parcial del tipo
[pic]
en la cual la matriz [pic]es definida positiva.
Unejemplo de una ecuación diferencial parcial elíptica es la ecuación de Poisson o la ecuación de Laplace.
EJEMPLO POISSON
La ecuación de Poisson se define como:
[pic]
donde [pic]es el operador laplaciano, y f y φ son funciones reales o complejas. En un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, toma la forma:
[pic]
Si f = 0, la ecuación se convierte en la ecuación de Laplace
[pic]EJEMPLO LAPLACE
ECUACION PARABOLICA EN DP
Una ecuación parabólica en derivadas parciales es una ecuación diferencial parcial de segundo orden del tipo
[pic]
en la cual la matriz [pic]tiene un determinante igual a 0.
Algunos ejemplo de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas son la ecuación de Schrödinger y la ecuación de conducción de calor.
EJEMPLO EC’N SCHRODINGER
La ecuación de...