UNIDAD II OK

UNIDAD II
FUNCIONES COMPLEJAS
Definición
Denotamos a S como un conjunto de números complejos. Una función f que se define en S es una relación que asigna a cada z en S, un número complejo w.El número w se llama valor de f en z y se designa por f(z), es decir:
w = f(z) (2.1)
El conjunto S se denomina dominio de definición def.
Suponemos que w = u + iv es el valor de una función f en z = x + iy, esto es:
u + iv = f ( x + iy ) (2.2)
Los números reales u y v dependen delas variables reales x y y.
Podemos expresar una función de la variable compleja z en términos de un par de variables reales x y y;
f(z) = u (x,y) + i v(x,y) Función Compleja de VariableCompleja (2.3)
En variable compleja se tienen funciones multivaluadas, esto es, funciones que pueden tener más de un valor en un punto específico. Sin embargo se establecerá el término de funcióncomo función mono-valuada.
donde u(x,y) = Re f(z) (2.4)
v(x,y)=Im f(z) (2.5)
si en laexpresión anterior, la función v(x,y) es cero, entonces:
f(z) = u(x,y) (2.6)
Tomemos en cuenta que:
-z = x+iy está en el dominio de f, y estedominio requiere de un plano complejo que llamaremos plano z.
-La función f(z) está en el contradominio de f, el cual requiere de otro plano complejo llamado plano w.


Fig. 2.1
Dominio deDefinición de Polinomios y Funciones Racionales
Polinomios
Si n es cero, o un número entero positivo y si a0, a1, a2,…an son constantes complejas, la función:
P(z) = a0 + a1z + a2z2 + … + anzn(2.7)
es un polinomio de grado n. Observamos que la suma tiene un número finito de términos y el dominio de definición es todo el plano z.
Funciones Racionales
Los cocientes...