UNITAT 7 Funcions

UNITAT 7: FUNCIONS
1. Definició
Una funció és una relació entre dues variables, de tal manera que al variar el valor d'una
d'elles va variant el valor de l'altra.
Exemple:

Completa:

x

f(x) = x+1

x

g(x) = x - 2

x

-2

(-2) + 1 =
-1

-2

-2

-1

(-1) + 1 = 0

-1

-1

0

(0) + 1 = 1

0

0

1

(1) + 1 = 2

1

1

2

(2) + 1 = 3

2

2

h(x) = x2 + 3x - 1

En l'exemple anterior, hem utilitzat 3funcions diferents: f(x), g(x) i h(x)
Les lletres (f, g, h, etc.) són el nom que li donem a la funció per distingir-les entre elles.
El símbol (x) fa referència a la variable de la qual depèn la funció.
Per exemple:
f(x) vol dir que la funció f depèn de la variable x. Si donem diferents valors a x, va variant
el valor de f.
g(z) vol dir que la funció g depèn de la variable z. Si donem diferentsvalors a z, va variant
el valor de g.
Anomenem imatge al valor que pren la funció per a un determinat valor de la variable
independent. Per exemple: la imatge de la funció f(x) per x=0 és 1.

Activitats:
1) Calcula la imatge de les següents funcions pels valors donats de la
variable independent:
x

y

z

-2

-2

-2

-1

-1

-1

0

0

0

1

1

1

2

2

2
111

2. Variable dependent i variableindependent
Per una funció qualsevol, com per exemple:
f(x) = x + 3
f(x) és la variable dependent.
El seu valor depèn del
valor que tingui x.
El valor de f(x) també
S'anomena imatge.

x és la variable independent.
A mesura que donem diferents
valors a x, anirà variant
el valor de la f(x)
El valor de la variable x
també rep el nom d'antiimatge

3. Representació de funcions
Les funcions es representen eneixos de coordenades com els següents:

112

Activitats:
2) Representa les següents funcions:
x

A(x) = 2x-3

-1
0
1
2
3

x

B(x) = -2x+1

-1
0
1
2
3
3) Representa les següents funcions en els mateixos eixos de
coordenades. No cal que representis els punts que quedin fora dels
eixos:
M(x) = 2x-2
N(x) = 2x-1
O(x) = 2x
P(x) = 2x+1
Q(x) = 2x+2
què observes?

113

4) Representa les següents funcions enels mateixos eixos de
coordenades. No cal que representis els punts que quedin fora dels
eixos:
A(x) = 2x+1
B(x) = x+1
C(x) = 1
D(x) = -x+1
E(x) = -2x+1
què observes?

Fixem-nos que fins ara només hem vist
funcions definides per una expressió del
tipus: ax + b
Aquest tipus de funcions sempre són
una recta, però hi ha una infinitat de
tipus diferents de funcions.
5) Representa les
següentsfuncions:
A(x) = x2 + 2x – 3
B(x) = x3 + 3x2
C(x) =
D(x) =
E(x) =

114

Solucions de l'activitat 5:
A(x):

B(x):

C(x):

D(x):

E(x):

115

4. Tipus de funcions
Polinòmiques:
grau 1: y = ax + b

Racionals:

grau 2: y = ax2 + bx + c

Irracionals:

grau 3: y = ax3 + bx2 + cx + d

Exponencials:

5. Funcions definides a trossos
En matemàtiques, una funció definida a
trossos f(x) d'una variable real x ésuna
funció amb una definició diferent en
diferents subconjunts disjunts del seu
domini. A aquestes funcions també
s'anomenen funcions definides per
intervals.
Un exemple molt conegut de funció
definida a trossos és el valor absolut.
La funció valor absolut per valors reals
es pot definir com el mateix valor quan
aquest valor és positiu, i canviant-li el
signe si és negatiu.
116

6. Representa lessegüents funcions:

6. Continuïtat
Diem que una funció és contínua quan no cal aixecar el llapis del paper per dibuixar-la.
Contínua

Discontinua

7. Digues si les funcions següents són contínues i si no ho són, digues
en quin punt tenen la discontinuïtat.

117

7. Límits
Posem per exemple la funció: f(x) = x2 + 1
Si donem valors a x propers a 1, observem que f(x)
s'apropa a 2. Aleshores direm queel límit de f(x) quan x
tendeix a 1 és 2. I ho escriurem de la següent manera:

Fixem-nos que hem donat a x valors propers a 1 per sota, però què passa si ens hi
apropem per sobre? En aquest cas, també ens apropem a 2 si fem que la x s'apropi a 1.
En el primer cas, direm que hem buscat el límit per l'esquerra i ho escriurem
així:

En el segon cas, direm que hem buscat el límit per la dreta i ho...