universidad

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UNIDAD II
APRENDAMOS DE LA INCERTUDUMBRE

2.1

Métodos de conteo

Introducción
Suponga que usted es el jefe de personal de una compañía, y que el principal accionista
de la empresa está otorgando 3 becas para estudiar en el extranjero para los ingenieros
del área de producción de la empresa. ¿Cómo seleccionaría usted a los tres futuros
becarios si en el área de producción seencuentran 5 ingenieros? Pues no se preocupe
porque en esta unidad se abordaran técnicas para solucionarlo.
Un paso para resolverlo es numerar todos los posibles resultados, pero esto es factible
cuando se tienen pocos elementos, pero cuando los elementos son muchos numerarlos
seria prácticamente un proceso engorroso. De igual manera hay técnicas que nos
permite resolverlo de una manera sencilla.Técnicas de Conteo.
Número Factorial
El factorial de un número natural n, que se denota por n!, es igual al producto de n por
todos los números naturales menores que él.
Es decir que: n! = n(n-1)(n-2)(n-3)x…x2x1
Número Combinatório
Para n y r números naturales, con r ≤ n, el número combinatório n, r se define:

 n
n!
  n C r 
r 
r!(n  r )!
 
Ejemplos:
1.
Calcular7
a)  ;
3
 
2.

10 
b) ;
0 
 

10 
c) 
10 
 

Simplificar las siguientes expresiones:
a)

7!
2!5!

b)

(n 2  1)(n  2)!
(n - 1)!

c)

100!
98!2!

d)

1200!
1198!2!

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DIAGRAMA DE ARBOL
Es una técnica que sirve para contar y describir de manera conjunta, ciertos tipos de
sucesos que van sucediendo a través de etapas sucesivas.Ejemplo 1
Se lanza una moneda tres veces, ¿Cuáles son los resultados posibles?
Ejemplo 2
Un empresario clasifica a sus clientes de acuerdo a tres criterios; según el volumen de
compras (alto, medio o bajo); según su origen (nacional o extranjero) y según su política
de crédito (corto, mediano y largo plazo). ¿De cuantas maneras distintas se puede
clasificar un cliente?¿Cuales son?

PRINCIPOSDE MULTIPLICACION
Si un determinado proceso u operación se realiza en k etapas, y se tienen:
n1 maneras de cubrir la etapa 1, n2 maneras de cubrir la etapa 2,…, nk maneras de cubrir
la etapa k; entonces, el número total de maneras en el cual el proceso puede ocurrir se
calcula por el producto:
n1 x n 2 x … x nk
Ejemplo 1
¿De cuantas maneras diferentes se puede permutar las letras A, B, C, Dy E?
Ejemplo 2
¿Cuántas cantidades de siete cifras significativas, se pueden formar con los números
dígitos? No se permite repetición.
Ejemplo 3
Un estudiante revisa a diario su correo eléctrico y en un día cualquiera se da cuenta que
ha recibido seis mensajes de direcciones diferentes, ¿de cuantas maneras distintas puede
leer y responder los seis mensajes?

PERMUTACION
Una permutaciónes un arreglo de r elementos tomados de un total de n elementos,
donde el orden de aparición se toma en cuenta.
El total se calcula mediante la expresión:

n Pr 

n!
(n  r )!

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Ejemplo 1
Con los números del 1 al 9 se desea formar cantidades de cuatro cifras, ¿Cuántas
cantidades diferentes pueden formarse? Sin repetición.

Ejemplo 2
¿Cuántas cantidades de cuatro cifras sepueden formar con los dígitos 5, 6, 7 y 8. No se
permite repetición.

COMBINACIÓN
Es una selección de r elementos tomados de un total de n elementos donde el orden de
aparición no se toma en cuenta.
El total se calcula mediante la expresión

 n
n!
  n C r 
r 
r!(n  r )!
 

Ejemplo 1
Se tienen los números del 1, 4, 7 y 9. Si se seleccionan dos de estos para sumarlos,¿Cuántas cantidades diferentes se pueden formar?
R/ 6
Ejemplo 2
Se disponen de 10 jugadores para integrar un equipo de baloncesto, ¿Cuántos equipos
pueden formarse? Si todos los jugadores tienen la misma capacidad para jugar en
cualquier posición. R/ 252
Ejemplo 3
En una oficina trabajan 5 hombres y 5 mujeres. De entre los cuales se van a escoger a
cuatro para formar un grupo que deberá...