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Noviembre 2006, pp.39-49

Euler jugando al dominó

Se presenta una actividad que relaciona dominó y grafos y con la que pretendemos que el alumno, a partir del análisis de un cierto aspecto del juego, sea capaz de llegar a conjeturar los resultados clásicos de Euler sobre la existencia de caminos o ciclos recorriendo todas las aristas de un grafo.

We suggest an activity relating dominoesand graphs. Our main goal is that the student, starting from an analysis of the game, manages to conjecture the classical results about the existence of paths and cycles travelling across every edge in a graph which were first found by Euler.

a actividad desarrollada en este artículo se basa, en parte, en una sesión de trabajo con alumnos de 4.º de ESO dirigida por uno de los autores en elTaller de Talento Matemáticoi organizado por el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Zaragoza. Nuestro principal propósito es introducir los grafos en el aula de forma natural, consiguiendo que los alumnos lleguen a conjeturar los resultados originales de Euler sobre la existencia de cierto tipo de caminos en un grafo. La Teoría de Grafos es una herramienta matemática con múltiplesaplicaciones en muy diferentes contextos. Pueden aplicarse en sociología (Kindt, 1993), en problemas de índole geográfica (Espinel, 1994), en diseño de algoritmos informáticos (Sipser, 1996) e incluso en el análisis de muchos juegos de estrategia (Martín y Méndez, 2004; Espinel y Sobrón, 1992). Quizás esta pluralidad de contextos en los que pueden aparecer, unida a la simplicidad de conceptos necesariospara introducirse en su estudio, sugiere la viabilidad de que los conozcan los alumnos de secundaria. Ya que, además de su carácter utilitario, la Teoría de Grafos tiene un claro valor formativo puesto que
los grafos constituyen una buena herramienta para conceptuar situaciones, para extraer pautas y, de forma mucho más evidente, para llegar a extraer esquemas y transferirlos a situaciones nuevas(Coriat y otros, 1989).

L

Comprender las cosas que nos rodean es la mejor preparación para comprender las cosas que hay más allá. Hipatia de Alejandría

Antonio M. Oller Marcén José María Muñoz Escolano
Universidad de Zaragoza Zaragoza

39

SUMA 53 Noviembre 2006

Y además,
facilitan el acceso de los alumnos a sus propias estrategias de aprendizaje [...] porque el ir y venir entresituaciones y estructuras puede facilitar la toma de conciencia de los propios procesos metacognitivos (ibidem).

Nos parece, por tanto, que los motivos anteriores justifican sobradamente el intento de abordar una actividad para introducir los grafos —y los resultados de Euler— a alumnos de secundaria. Sin embargo a la hora de abordar una actividad del tipo: ¿Puedes encontrar un caminoeuleriano en este grafo?

Este último hecho lo consideramos de vital importancia, pues en el informe PISA 2003 leemos:
Los estudiantes con una desarrollada capacidad de gestionar su propio aprendizaje son capaces de elegir objetivos de aprendizaje adecuados, de usar su conocimiento y habilidades previas para dirigir su aprendizaje y de seleccionar estrategias de aprendizaje adecuadas a la tarea que lesocupa.

El juego es una herramienta propicia para invitar a que el alumno investigue casos particulares en busca de posibles generalizaciones.
Por otro lado, los teoremas o resultados de Euler a los que hacíamos referencia anteriormente aparecen como la generalización de la resolución del conocido problema de los puentes de Köningsberg por parte del célebre matemático Leonhard Euler en 1736.Así, en el lenguaje de la Teoría de Grafos, estos resultados dicen lo siguiente: – Las condiciones necesarias y suficientes para que en un grafo exista un ciclo euleriano (esto es, una forma de recorrer un grafo pasando una sola vez por cada arista y acabando el trayecto en el vértice en que se empezó) son que el grafo sea conexo y que el número de aristas que salgan de cada vértice sea un número...
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