Valor absoluto

GUÍA 1 DE VALOR ABSOLUTO
EJERCICIOS RESUELTOS
Determine el conjunto solución de:
1 ) | x + 7 | = 8
➢ x + 7 = 8
x = 1
➢ x + 7 = – 8
x = – 15
S = { – 15 , 1 }
2 )
9 – 2 x
5
= 1
➢
9 – 2 x
5
= 1
9 – 2 x = 5
4 = 2 x
2 = x
➢
9 – 2 x
5
= – 1
9 – 2 x = – 5
14 = 2 x
7 = x
S = { 2 , 7 }
EJERCICIOS PROPUESTOS
Determine el conjunto solución de:
1 ) | x | = 2 R : { 2 , 2 }2 ) | x 2 | = 3 R : { 1 , 5 }
3 ) | 5 x | = 15 R : { 3 , 3 }
4 )
x
2
= 4 R : { 8 , 8 }
5 ) | x | = 1 R : 
6 ) | 3 x 2 | = 7 R :
– 5 , 3
3



7 ) | 12 5 x | = 8 R :
4 , 4
5



8 ) | 3 x 4 | = x R : { 1 , 2 }
9 ) | x + 1 | = 5 2 x R : { 6 }
10 )
4 x – 7
3
= 3 R :
– 1 , 4
2



11 )
x 2
x – 1

= 2 R : { 0 , 4 }
12 )x 3
x 1

=
1
2
R :
– 5 , – 7
3




1.4.1 Ejercicios Resueltos Sobre Intervalos, Desigualdades y Valor Absoluto |
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1. Considere los siguientes intervalos:  A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-1, 4] ; D = (-4, 5].  Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:  a) A u D                       b) AC                                               c) B – C  d) A  (B u C)             e) B* (el complemento de B)            f) C* (el complemento de C) |
 
Solución |
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En primer lugar, se dibuja cada uno de los intervalos dados en la recta real, para luego efectuar de una manera mas sencilla las operaciones propuestas. 
 
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Asi que:  a. A u D = D = (-4, 5] = {x   R / -4 < x  5}   b. Como laintersección de dos conjuntos, corresponde al conjunto de elementos comunes, se deduce de las gráficas que:  A  C = [-1, 3] = {  x   R  / -1  x  3}c. La diferencia entre los conjuntos B y C se define como el conjunto formado por los elementos que están en B, pero que no están en C, esto es, el intervalo (-3, -1).  Asi que: B-C=(-3,-1)={ x  R / -3 < x < -1}  Igualmente, C - B = [3, 4] = { x  R  / 3  x  4}  d. En primer lugar, B u C = (-3, 4] = { x   R / -3 < x  4}  |
De la gráfica anterior, se deduce que:   
A  (B u C) = (-3, 3] = { x   R/ -3 < x  3}e. En este caso, el conjunto Universal o referencial es R .  Asi que:  B* = R - B = ( , -3] U [3, +) = { x   R / x < = -3 v x >= 3} Igualmente,  C* = R - C = ( , -1) U (4,  )= {x R/ x < -1 v x > 4}|
 
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2. Demostrar la propiedad V.A.7. |
 
Solución |
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Demostración. 
En primer lugar, se asume que y que además, , y se prueba que .  En efecto,  Si y , entonces, .  Si y , entonces, , asi que  . 
  En cualquiera de los casos, se concluye que .  Recíprocamente, 
Si  y , entonces, . Asi que . 
Si  y , entonces, , asi que . |
 
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3. Demostrar la propiedadV.A.14. |
 
Solución |
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Demostración.  (desigualdad triangular).  De acuerdo a V.A.5., .  Asi que:  (1).  Igualmente,  (porqué?)  Asi que:  (2)  De (1) y (2) se concluye que:    Esta última desigualdad, es equivalente a la siguiente:    ¿La equivalencia se deduce de cual propiedad? |
 
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4. Resolver la desigualdad: 3x-1 <= x+5. |
 
Solución |
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      Enconsecuencia, la solución o el conjunto solución S, viene dado por: S = {x  R / x <= 3} = ( , 3] |
 
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5. Resolver la desigualdad:  |
 
Solución |
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(Porqué?)  En consecuencia, la solución es el intervalo abierto (2, +  ). |
 
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6. Resolver la desigualdad:  |
 
Solución |
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Debe notarse en primer lugar que la desigualdad no es equivalente a x >= 2, puestoque (x - 1) no siempre es positivo. Sin embargo, .  Esta última desigualdad se satisface si y solo si x = 2 o las dos cantidades: (x – 2) y (x – 1) tienen el mismo signo (ambas positivas o ambas negativas) ¿porqué?  Pero, (x – 2) y (x – 1) son positivas si y solo si x > 2. También, (x – 2) y (x – 1) son negativas si y solo si x < 1.  En consecuencia, la solución de la...