Valor Absoluto

Valor absoluto
El valor absoluto de un número real  a  coincide con él mismo si es positivo  ó  0,  y es igual a su opuesto si es negativo. Se representa por |a|.


De modo que el valor absoluto decualquier número nunca es negativo.
El valor absoluto de un número coincide siempre con el de su opuesto.
Ejemplos de valor absoluto
a) |3,5| =  3,5

b) |-1,6| = 1,6

c) |4 - 9| = |-5| = 5

d)|π - 2| = π - 2 = 1,141...

e) |-3| + |√2| = 3 + √2 = 4,414...

f) |-4,2| - |-4,2| = 4,2 - 4,2 = 0

Propiedades del valor absoluto
1. |a| = |-a|
2. |a · b| = |a| · |b|
3.|a +b | ≤ |a| + |b|           Desigualdad triangular
4. Si |a| < k                         -k < a < k

Ejemplos de las propiedades del valor absoluto
1. |-7| = |7| =7

2. |(-2) · 5| = |-10| = 10 = |-2| · |5| = 2 · 5

3.|4 + 2| = |6| = 6 = |4| + |2|

       Igualmente:

    |4 + (-2)| = |2| =  2  ≤ |4| + |-2| = 4 + 2 = 6

4. Si |3|<4, entonces -4 < 3 < 4
Observaciones de las propiedades del valor absoluto
|x| = a   son los valores x tales que   x =a   o   x = - a
|x| < a   son los valores x tales que   - a < x < a
|x| > a  son los valores x tales que   x < - a   o   x > a

La desigualdad   |x| ≤ a   describe el intervalo cerrado    [-a , a]  , simétricorespecto al origen.
Y los números reales   |x| < a   son los del intervalo abierto    (-a, a).
La desigualdad   |x| ≥ a   describe la unión de los intervalos   (-∞ , -a] ∪ [a , ∞).
Y los númerosreales   |x| > a   son la unión de los intervalos abiertos   (-∞ , -a) ∪ (a , ∞).

La desigualdad   |x - c| < d   es el intervalo abierto  (c - d , c + d)  , denominado también entorno de centro   c   y   radio  d,  E(c , r).
La desigualdad   |x - c| ≤ d   es el intervalo cerrado    [c - d , c + d].
Expresión con valor absoluto
a > 0
Interpretación Geométrica
Expresión sin valor Absoluto
|x| = a
Ladistancia de x al origen es a
x = ± a



|x| < a
La distancia de x al origen es estrictamente menor que a
- a < x < a



|x| ≤ a
La distancia de x al origen es...