Valor Absoluto

VALOR ABSOLUTO
Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto
de un número representa la distancia del punto a al origen. Observe en el
dibujo que la distancia del 3 al origen es 3 unidades, igualmente la distancia del
punto -3 al origen es 3. En notación, esto es − 3 = 3 . Las barras se leen como
el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas. En el valorabsoluto no importa
en que lado de la recta real está representado el número. Analíticamente
podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces
a = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces
a = −a . Esto lo escribimos en la siguiente definición

Definición.- El valor absoluto de un número real, x, se define como:
 x, si x ≥ 0

x =
− x, six < 0

Veamos los siguientes ejemplos
Ejemplo 1
1 1
a.- =
2 2
1
1
1
= −(− ) = . Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la
2
2
2
deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo.
b.- −

c.- Si x>2 entonces x − 2 = x − 2 , pues x-2>0 y así usamos la primera parte de
la definición. Visto de otra manera a la expresión que le estamos tomando valor
absoluto es de signo positivoy el valor absoluto lo deja igual.
d.- Si x<2 entonces x − 2 = −( x − 2 ) , pues x-2<0 y así usamos la segunda
formula de la definición. Visto de otra manera a la expresión que le estamos
tomando valor absoluto es de signo negativo y el valor absoluto le cambia de
signo.

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Si x es una incógnita en la expresión x − 3 , entonces no sabemos si x-3 es
positivo o negativo.Ahora bien, si tenemos la ecuación:
x − 3 =5,
deberíamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos
alternativas:
x-3=5

o

x-3=-5

La primera es en el caso que x -3 sea positivo, la segunda en la situación que
sea negativo.
Resolviendo las dos ecuación, tenemos que
x=8

o

x=-2

Efectivamente estos valores de x satisfacen la ecuación: x − 3 =5.
Veamos más ejemplos de resoluciónde ecuaciones en valor absoluto.
Ejemplo 1.- Resolver x − 4 = 3
Solución: Hay dos posibilidades
x-4=3
o x-4=-3.
Las soluciones de ellas son 7 y 1.
Efectivamente el lector puede comprobar que si sustituimos estos valores en la
ecuación ellas satisfacen la igualdad.
Ejemplo 2.- Resolver 3 5 − 4 x = 9
Solución: Sabemos resolver una ecuación con valor absoluto cuando el valor
absoluto está solo en ellado izquierda, así que lo llevamos a esta forma,
dividiendo entre 3. De esta manera la ecuación dada es equivalente a:
5 − 4x = 3
Ahora esta ecuación en valor absoluto es equivalente a
5-4x=3

ó

5-4x =-3

1
y 2.
2
Podemos representar el conjunto solución de nuestra ecuación 3 5 − 4 x = 9
1
a través de la notación de conjunto como: { ,2}.
2
La solución de ellas son

Recuerde que un valor absolutosiempre es mayor o igual a cero, nunca
negativo.

Ejemplo 3.- Resolver x − 5 = −2
Solución: Esta igualdad es imposible de cumplirse. Por tanto la solución es
vacía...
|a-b | = | b-a| representa la distancia entre a y b.

Ejemplo 4- Conseguir todos los puntos cuya distancia a 3 es igual a 4.
Solución: Sea x los puntos cuya distancia a 3 es igual a 4.
Entonces x − 3 = 4 . El lector puede chequearque las soluciones de está
ecuación son -1 y 7.
DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS
La expresión |x|<2 la podemos interpretar como los x cuya distancia al origen
es menor que 2, estos x son todos los números que están entre -2 y 2. Así la
desigualdad
|x|<2 es equivalente a -2
La expresión |x|>2 la podemos interpretar como los x cuya distancia al origen
es mayor que 2, estos x son todos losnúmeros mayores que 2 y los menores
que -2 . Así la desigualdad
|x|>2 es equivalente a x<-2 ó x>2

Generalizando, si a>0, entonces
1) |x|>a

si y sólo si

x<-a ó

x>a.

Este tipo de conjunto se suele representar usando el símbolo unión ( ∪ ) y se
escribe como (−∞,−a) ∪ (a, ∞) , que significa todos los números que están en
(−∞,− a) ó en (a, ∞) .

2) |x|
si y sólo si

-a
Estas equivalencias...

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