Valor Esperado

Valor Esperado
El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cual era su esperanza de ganar o perder con un juego determinado. Como a cada resultado particular del juego le corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una función de probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todoslos resultados posibles del juego estará representado por la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. El valor esperado o esperanza es muy importante, ya que es uno de los parámetros que describen una variable aleatoria.
 
Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidades f(x). Entonces, el valor esperado de la variable aleatoria X, el cual se representa por E(X),está definido por:
E(X) =  xi  f(xi)
 
Lo anterior significa, que para calcular E(X) se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y después se suman esos productos.
 
El valor esperado representa el valor  promedio que se espera suceda, al repetir el experimento en forma independiente una gran cantidad de veces. El valor esperado seinterpreta físicamente como el centro de masa o centro de gravedad de la distribución de probabilidad, por lo que es igual a la media o promedio aritmético, los cuales se representan con la letra .
 
            De acuerdo a lo anterior podemos escribir que:
 
E(X) =  =  xi  f(xi)
 
 
Ejemplo 4. 7. Si se lanzan dos dados legales, encontrar el valor esperado.
 
Solución.
 
Definamos la variablealeatoria X como la suma de los números que aparecen al lanzar dos dados legales. Como vimos en el problema anterior, la distribución de probabilidad es:
 
 xi f(xi) =
 
 
xi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
f(xi)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
 
En particular, si la distribución de probabilidades es simétrica como en el ejemplo anterior, el valor esperado coincide con el valor de lavariable que tiene la mayor probabilidad en la distribución.
 
Una aplicación del valor esperado puede ser la siguiente.
 
Ejemplo 4. 8. Un casino le permite a un jugador que lance un dado legal y que reciba tantos pesos como puntos aparezcan en la cara superior del dado. El jugador debe pagar una cantidad k de pesos cada vez que juegue. Calcular cuanto debe valer k para que el jugador ni gane nipierda.
 
Solución.
 
Sea X la variable aleatoria que representa el resultado al lanzar un dado. Su distribución de probabilidad es la siguiente:

1
2
3
4
5
6

1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
 
 
En este caso el valor esperado debe ser igual al valor k, con lo que se espera que el jugador ni gane ni pierda. Aplicando la fórmula del valor esperado tenemos:
 
 xi  f(xi) = 1(1/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6)+5(1/6) + 6(1/6) = 3.5
 
El jugador debe pagar 3.5 pesos cada vez que participa en un juego.
Si la cuota k fuera de 4 pesos por juego, la ganancia neta esperada del casino es de 0.50 pesos por juego, ya que k - = 4.00 - 3.50 = 0.50 pesos. Como lo que recibe el jugador en un solo juego no puede ser igual a 3.5 pesos (debe ser un número entero entre 1 y 6), entonces laE(X) no necesariamente coincidecon el resultado de un solo juego.
 
El significado de E(X) = 3.5 pesos, es que si el juego se realiza un gran número de veces, el cociente    debe ser aproximadamente igual a 3.5 pesos.
 
Ejemplo 4. 9. Consideremos una lotería con mil números. Cada número cuesta 25 centavos y el premio es de 100 pesos. Calcular cuánto se espera ganar o perder cada vez que se participa en esta lotería.
 
Solución. 
Sea X la variable aleatoria utilidad que obtiene la persona que participa en la lotería y los valores que puede tomar son:
Cuando gana = 99.75 pesos (100 que gana del premio, menos 0.25 del costo del número).
Cuando pierde:  –0.25 pesos (costo del número)
Por su parte, la probabilidad de ganar es 1/1000 y de perder 999/1000.
De acuerdo a los datos anteriores, la distribución de probabilidad...