Valores y vectores característicos
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VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS.
6.1 Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada. 6.2 Polinomio y ecuación característica. 6.3 Determinación de los valores y vectores característicos de una matriz cuadrada. 6.4 Diagonalización de matrices, potencias y raíces de matrices. 6.5 Diagonalización de matrices simétricas, Diagonalización ortogonal.6.1 DEFINICIÓN DE VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS DE UNA MATRIZ CUADRADA El escalar se llama valor característico de la matriz A, y e, vector x diferente de cero, se llama vector característico de A correspondiente a . Los términos valor característico y vector característico corresponden a los términos eingenvalor y eingenvector, derivados del termino alemán Eigenwert cuyo significado es“propio valor” o “valor propio”. Sea A una matriz de nxn. El escalar se denomina valor característico de A, si existe un vector x 0 tal que, la formula Ax x El vector x se llama valor característico de A, correspondiente a . Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo K y f : V V una aplicación lineal. Se dice que un escalar K es un autovalor o valor propio de f siexiste un vector V , u 0V tal que f ( ) Al vector se le denomina autovector o vector propio de f asociado al autovalor . Nota 1. El autovector asociado a un autovalor no es único, a que si f ( ) , entonces para todo K de verifica que f ( ) y, por lo tanto, u es también un vector propio de f asociado a . 2. Un vector V , 0V no puede ser autovector asociado ade autovalores de f diferentes. En efecto, si existen , K tales que f ( ) f ( ) entonces f ( ) f ( ) 0v y, en consecuencia, pues oV . Autovalores y autovectores para matrices Sea f : V V una aplicación lineal con matriz asociada A M n respecto de la base BV 1 ,..., n del K-espacio vectorial V, entonces se verifica que una condición necesaria y suficiente para que K sea autovalor de f con autovector , es que Ax x n donde x K son las coordenadas de respecto de BV . Si V K n con K=R ó K=C y BV es la base canónica de V entonces f (u ) A
Propiedades de los autovalores Sean A M m dos matrices cuyos autovalores son los escalares 1 , 2 ,..., n y 1 , 2 ,..., m , respectivamente. Estos autovalorespueden ser reales o complejos, iguales o distintos. Se verifica que: i. Los autovalores de A’ coinciden con los de la matriz A. ii. El numero de autovalores nulos de una matriz A de rango r n es mayor o igual que nr.
n
iii.
A i
i 1
n
iv. tr A i 1 i v. Los autovalores de la matriz A para cualquier R (ó C) 0 son i , con i 1,..., n . vi. Si m n entonceslos autovalores de las matrices AB y BA son los mismos. vii. La matriz A B tiene como autovalores los mn escalares i i con i 1,..., n j 1,..., m 1 viii. Si A es no singular, entonces los autovalores de A-1 son con i 1,..., n i ix. Para cualquier numero natural k no nulo, los autovalores de Ak son k , siendo i i 1,..., n . x. Si A es una matriz de orden n con elementos pertenecientesa R tal que sus autovalores i , i 1,..., n son reales, entonces para todo p, numero natural impar, los
1
1
autovalores de A p son ip , i 1,..., n . Si p es par, esta propiedad se verifica siempre que i 0, i 1,..., n xi. Si i 1, i 1,..., n , entonces I n A es invertible, siendo 1 i sus autovalores y 1 los de su inversa. 1 i
Propiedades de los autovectores Sea
A M n , a ij K , i, j 1,..., n , una matriz de orden n cuyos autovalores son
1 ,..., n K
son
multiplicidades algebraicas
m1 ,..., mr ,
respectivamente,
siendo
r i 1
mi n . Se verifica que:
i. Para cada i 1,..., r , el conjunto V ( i ) u K n : Au i u es un subespacio vectorial de K n tal que dimV i mi . Además, si mi0 1 entonces...
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