Valores y vectores caracteristicos

UNIDAD 6
VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS

6.1 Definición Valores Vectores Característicos Matriz Cuadrada
6.2 Polinomio Y Ecuación Característica
6.3 Determinación Valores Vectores Característicos Matriz Cuadrada
6.4 Diagonalizacion Matrices Potencias Y Raíces De Matrices
6.5 Diagonalizacion Matrices Simétricas,
Diagonalizacion Ortogonal
6.6 Formas Cuadráticas
6.7 TeoremaCayley Hamilton
6.8 Aplicaciones

6.1 DEFINICIÓN VALORES VECTORES CARACTERÍSTICOS MATRIZ CUADRADA

Vector propio y valor propio
En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe elnombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio se usó por primera vez en este contexto por DavidHilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se ha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente.

VECTORESPROPIOS Y VALORES PROPIOS DE MATRICES

Cálculo de valores propios y vectores propios de matrices

Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico.

Cálculo simbólico

Encontrandovalores propios

Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decir que λ es un valor propio de A es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones lineales (A - λI) v = 0 (donde I es la matriz identidad) tiene una solución no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante:
[pic]

La funciónp(λ) = det(A - λI) es un polinomio de λ pues los determinante se definen como sumas de productos. Éste es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico.
Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse resolviendo la ecuación pA(λ) = 0.
Si A es una matriz n×n, entonces pA tiene grado n y A tiene como máximo n valorespropios.
El teorema fundamental del álgebra dice que esta ecuación tiene exactamente n raíces (ceros), teniendo en cuenta su multiplicidad. Todos los polinomios reales de grado impar tienen un número real como raíz, así que para n impar toda matriz real tiene al menos valor propio real. En el caso de las matrices reales, para n par e impar, los valores propios no reales son pares conjugados.Encontrando vectores propios

Una vez que se conocen los valores propios λ, los vectores propios se pueden hallar resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo:
[pic]

Una forma más sencilla de obtener vectores propios sin resolver un sistema de ecuaciones lineales se basa en el teorema de Cayley-Hamilton que establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico.Así, si λ1,λ2,...,λn son los valores propios de A se cumple que
[pic]

por lo que los vectores columna de (A - \lambda_2 I)...(A - \lambda_n I) son vectores propios de λ1.
Ejemplo de matriz sin valores propios reales

Un ejemplo de matriz sin valores propios reales es la rotación de 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj:
[pic]

cuyo polinomio característico es...