VARIABLE ALEATORIA

VARIABLE ALEATORIA:
Es una variable cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma). Una variable aleatoria (v.a.) es una función real definida en el espacio muestral asociado a un experimentoaleatorio, Ω.
 Variables aleatorias discretas:
Es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la función de cuantía
 Variables aleatorias continúas:
Es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo denúmeros reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD:
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad deque dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria. Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variablealeatoria sea menor o igual que x.
ESPERANZA MATEMÁTICA:
Es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio. Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso.
VARIANZA:
En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como ) de una variablealeatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.
Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresadaen las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.
Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influida por los valores atípicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de dispersión más robustas.
Definición
Si tenemosun conjunto de datos de una misma variable, la varianza se calcula de la siguiente forma:

Siendo:
: cada dato
: El número de datos
: la media aritmética de los datos
Variable aleatoria
Aplicando este concepto a una variable aleatoria con media μ = E[X], se define su varianza, Var(X) (también representada como  o, simplemente σ2), como

Desarrollando la definición anterior, se obtiene lasiguiente definición alternativa (y equivalente):

Si una distribución no tiene esperanza, como ocurre con la de Cauchy, tampoco tiene varianza. Existen otras distribuciones que, aun teniendo esperanza, carecen de varianza. Un ejemplo de ellas es la de Pareto cuando su índice k satisface1 < k ≤ 2.
Caso continuo
Si la variable aleatoria X es continua con función de densidad f(x), entonces

donde

y lasintegrales están definidas sobre el rango de X.
Caso discreto
Si la variable aleatoria X es discreta con pesos x1 ↦ p1, ..., xn ↦ pn y n es la cantidad total de datos, entonces tenemos:

donde
 .
Ejemplos
Distribución exponencial
La distribución exponencial de parámetro λ es una distribución continua con soporte en el intervalo [0,∞) y función de densidad

Tiene media μ = λ−1. Por lo tanto, su...