Variable de estado

13. Modelamiento y Análisis en Variables de Estado. Una forma útil de modelación es mediante la descripción en variables de estado. Las variables de estado forman un conjunto de variables internas, las que conocidas en algún instante de tiempo, entonces cualquier salida de la planta respectiva puede ser calculada, para todo tiempo futuro, como función de las variables de estado, y las entradaspresentes y futuras. La representación de un sistema mediante Variables de Estado tiene varias ventajas: − Proporciona interpretaciones sobre el comportamiento del sistema que no pueden proporcionar ni el método de la respuesta al impulso ni el de la ecuación diferencial. − Se puede adaptar muy fácilmente para su solución utilizando computadores analógicos o digitales. − Se puede extender a sistemasno lineales o variantes con el tiempo. − Permite manejar sistemas con múltiples entradas y salidas. 13.1 Modelo en variables de estado

Se define el estado de un sistema como la mínima cantidad de información que es , suponiendo que se suficiente para determinar la salida en todos los instantes . Las variables que contienen esta información conoce la entrada en corresponden a las variables deestado. Dado el estado de un sistema en y su entrada entre y , se puede encontrar la salida y el estado del sistema en . Un sistema físico lineal invariante puede ser descrito mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

Entrada

Salida

Las ecuaciones que describen el sistema son de tipo matricial. La primera relación corresponde al modelo de estado, mientras que la segundaecuación corresponde a la ecuación de respuesta. Tanto el número de ecuaciones que define el modelo de estado como el número de variables de estado, corresponde al orden de la ecuación diferencial que describe el sistema. Para un sistema SISO (Single Input – Single Output), el conjunto de variables de estado se representa como un vector de dimensión y que corresponde a en la representación descrita.es una matriz cuadrada de dimensión , es un vector columna de dimensión 1, es un vector fila de dimensión 1 y es una constante. Las matrices , y están formadas por valores constantes para sistemas invariantes. , tales que si se conoce x t y u t , t t , podemos obtener Estado: Sea y t ,t t . x t ,t t Si N es mínimo, podemos decir que la realización en base al sistema de ecuaciones

es unarealización mínima. Esta puede ser representada como

La representación en variables no es única, siendo posible representaciones, todas relacionadas mediante una matriz de transformación. Dado el sistema descrito por

varias

Se puede definir , donde es una matriz cuadrada no singular. Por lo tanto se puede reescribir la ecuación del modelo de estado como

obteniendo una nueva representacióndel sistema (se explica mas adelante).

En adelante,

es la matriz de transformación.

13.1.1. Construcción de las ecuaciones de estado para un sistema continuo lineal invariante. Suponga la ecuación diferencial siguiente, la cual puede describir algún modelo físico.

Podemos definir las siguientes variables

Por lo tanto se pueden escribir las siguientes ecuaciones

1

El sistema deecuaciones diferenciales anterior puede escribirse como 0 0 d a 1 0 c a 1 0 1 b a 0 0 0 0 1

13.1.2. Solución de las ecuaciones de estado. Partiendo de las ecuaciones de estado siguientes

Se define la matriz de transición siguiente

!

2!

!

que permite resolver la ecuación del modelo de estado, de la forma. , donde , la salida finalmente se puede obtener como , , ,

Observar quela integral corresponde a una convolución entre y . La solución corresponde a la que se encuentra para una ecuación diferencial de primer orden. La solución no sería un problema si no fuera porque es una matriz y no un escalar. En la práctica el problema es determinar la matriz de transición . 13.1.3. Determinación de la matriz de transición a partir del método de Cayley-Hamilton. El teorema de...