Variables Aleatorias Continuas

Variables aleatorias continuas
Nicolas Saintier
9 de mayo de 2014

Denicion

Denición
Una va X : Ω → R se dice continua si existe una función
fX : R → R llamada densidad o distribución def tal que
1 fX (x ) ≥ 0 para todo x ∈ R,
+∞
2 −∞ fX (x ) dx = 1,
3 para todo subconjunto A de R, la probabilidad que X tome
valor en A ⊂ R es
P ( X ∈ A) =

A

fX (x ) dx .

Función dedistribución acumulada

Denición
La función de distribución acumulada (fda) de una va continua X
de densidad fX es la función FX : R → [0, 1] denida por
FX (x ) = P (X ≤ x ) =

x
−∞

fX (t )dt .

Propiedades de la función de distribución acumulada

Proposición
La fda FX de una va continua X de densidad fX verica:
1 FX es no-decreciente (ya que fX ≥ 0),
+∞
2 límx →+∞ FX (x ) =−∞ fX (t ) dt = 1,
3 límx →−∞ FX (x ) = 0,
4 FX es una primitiva de fX : si fX es continua en x0 entonces FX
es derivable en x0 con FX (x0 ) = fX (x0 ).
La última propiedad resulta muy úitil paradeterminar la densida de
una va denida a partir de X (ver ejemplo que sigue).

Ejemplo1

Dado dos reales a − b y X ∼ U (0, 1), la va Y := (b − a)X + a es
uniforme en a, b.
−a
Reciprocamente si Y∼ U (a, b) entonces X := Y−a es uniforme en
b
(0, 1).

Ejemplo2

Si X tiene por densidad
fX (x ) =

8e −8x si x > 0
0 sino

entonces Y := e 2X tiene por densidad
fY (x ) =

4
x 5 si x >1
0 sino

Esperanza de una va continua
La esperanza de una va discreta X de rango RX = {x1 , x2 , ...} es
E (X ) = x1 P (X = x1 ) + x2 P (X = x2 ) + ... =

x ∈RX

xP (X = x ).

Obtenemosla versión continua de esto reemplazando x ∈RX por
+∞
−∞ y P (X = x ) por fX (x ). Llegamos a la siguiente denición:
Denición
Denimos la esperanza E (X ) de una va continua X de densidad fXpor
E (X ) =

+∞

−∞

xfX (x ) dx .

Ejemplo: esperanza de una va uniforme

Sea X una va con distribución uniforme en [a, b]: X ∼ U (a, b).
Su densidad es
fX (x ) =

1
b−a si a...