Variables Aleatorias Continuas

V A R I A B L E A L E A T O R I A S C O N T I N U A S






Presentado por
Jhonny Abril
COD:135574















UNIVERSIDAD LIBRE SECCIONAL CALI
Definición
Una variable aleatoria continua es una función X que asigna a cada resultado posible de un experimento un número real. Si X puede asumir cualquier valor en algún intervalo I (el intervalo puede ser acotado o desacotado), se llama unavariable aleatoria continua. Si puede asumir solo varios valores distintos, se llama una variable aleatoria discreta.
una variable aleatoria es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída deuna determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.



Función de densidad de una variable aleatoria continua
La función de densidad de probabilidad (FDP) o, simplemente, función de densidad, representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso oevento, en relación al resultado del suceso.
La FDP es la derivada (ordinaria o en el sentido de las distribuciones) de la función de distribución de probabilidad F(x), o de manera inversa, la función de distribución es la integral de la función de densidad:


La función de densidad de una variable aleatoria determina la concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variablealeatoria continua.







Propiedades
Sea  una variable aleatoria con valores en  y  una densidad de probabilidad sobre . Se dice que  es una variable aleatoria continua de densidad  si para todo intervalo  de  se tiene:


La ley de la variable aleatoria  es la ley continua sobre , de densidad .


Para determinar la ley de una variable aleatoria continua, hay que calcular su densidad. De maneraequivalente, la ley de una variable continua se determina dando la probabilidad de que ella pertenezca a un intervalo  cualquiera. Es lo que hemos hecho para nuestro ejemplo de base, el llamado a Random, que es una variable aleatoria continua, de densidad . Una variable aleatoria continua  de densidad , cae entre  y con una probabilidad igual a :



Mientras más grande sea la densidad  en un segmento,mayores serán las probabilidades de que  caiga en ese segmento, lo cual justifica el término ``densidad''. 
Como ya hemos observado para Random, la probabilidad de que una variable aleatoria continua caiga en un punto cualquiera es nula.

En consecuencia:



Observemos también que el modificar una densidad en un número finito o numerable de puntos, no cambia de las integrales sobre los segmentos yen consecuencia la ley de probabilidad asociada tampoco cambia. El valor que toma la densidad en un punto particular, no es importante. Por
ejemplo Random tiene como densidad a  pero da lo mismo usar . Como en los casos discretos, debemos conocer algunos ejemplos básicos. Las densidades se dan en un punto cualquiera de . 


Aplicaciones

Ley uniforme. 
La ley uniforme sobre un intervalo es la leyde ``sorteos al azar'' en un intervalo. Si  son dos números reales, la ley uniforme sobre el intervalo  se denota por . Ella tiene por densidad a la función:

Random es una variable aleatoria de ley uniforme . 

Ley exponencial. 
Las leyes exponenciales modelan intervalos de tiempo o duraciones aleatorias, como la vida de una partícula en física. La ley exponencial de parámetro  se denota por .Ella tiene por densidad a la función:



Ley normal. 
La ley normal, ley de Gauss o Laplace-Gauss es la más célebre de las leyes de probabilidad. Su éxito y su omnipresencia en las ciencias de la vida vienen del Teorema del Límite Centrado que estudiaremos más adelante. La ley normal de parámetros  y  se denota por . Ella tiene por densidad a la función:



Las leyes exponenciales y normales...