Variacion de Parametros

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos
Ejercicios resueltos Tema 8
EDOs de orden superior
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Cataluña
Curso 2006/07
Noviembre 2006, Versión 1.1
Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
1. 4y00 + y0 = 0.
2. y00 − y0 − 6y = 0.
3. y00 + 8y0 + 16y = 0.
4. 12y00 − 5y0− 2y = 0.
5. y00 + 9y = 0.
6. y00 − 4y0 + 5y = 0.
7. 3y00 + 2y0 + y = 0.
(1.1)
4y00 + y0 = 0.
Ecuación característica
4m2 +m = 0,
m(4m+ 1) = 0,
raíces
m = 0, m= −1/4,
soluciones
y1 = e0x = 1,
y2 = e− 1
4x.
Solución general
y = c1 + c2e− 1
4x, c1, c2 ∈ R.
(1.2)
y00 − y0 − 6y = 0.
Ecuación característica
m2 −m− 6 = 0,
1
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 2
m =
1 ±√1 + 24
2
=
1 ± 5
2
=
(
6
2 = 3,
−4
2 = −2.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e3x,
y2 = e−2x.
Solución general
y = c1e3x + c2e−2x, c1, c2 ∈ R.
(1.3)
y00 + 8y0 + 16y = 0.
Ecuación característica
m2 + 8m+ 16 = 0,
m = −8 ± √64 − 64
2
= −
8
2
= −4 (doble) .
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e−4x,
y2 = xe−4x.
Solución general
y = c1e−4x + c2xe−4x, c1, c2 ∈ R.
(1.4)12y00 − 5y0 − 2y = 0.
Ecuación característica
12m2 − 5m− 2 = 0,
m =
5 ± √25 + 4 · 2 · 12
24
=
5 ± √25 + 96
24
=
5 ± √121
24
=
5 ± 11
24
=
(
16
24 = 2
3 ,
− 6
24 = −1/4.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e
2
3 x,
y2 = e− 1
4x.
Solución general
y = c1e
2
3 x + c2e− 1
4x, c1, c2 ∈ R.
(1.5)
y00 + 9y = 0.
Ecuación característica
m2 + 9 = 0,
m2 = −9,Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 3
m = ±√−9 = ±3i.
Tenemos dos raíces complejas conjugadas (simples)
z = α ± βi,
con α = 0 y β = 3. Las soluciones son del tipo
y1 = eαx cos βx,
y2 = eαx sin βx.
Solución general
y = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx) ,
y = c1 cos 3x + c2 sin 3x, c1, c2 ∈ R.
(1.6)
y00 − 4y0 + 5y = 0.
Ecuación característica
m2 − 4m+ 5 = 0,
m =
4 ± √16 − 20
2
=
4 ±√−4
2
=
4 ± 2i
2
= 2± i.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e2x cos x,
y2 = e2x sin x.
Solución general
y = e2x (c1 cos x + c2 sin x), c1, c2 ∈ R.
(1.7)
3y00 + 2y0 + y = 0.
Ecuación característica
3m2 + 2m+ 1 = 0,
m = −2 ± √4 − 12
6
= −2 ± √−8
6
= −2 ± 2√2i
6
= −
1
3 ±
√2
3
i.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e− x
3 cos
Ã√2
3
x
!
,
y2 = e− x
3 sin
Ã√2
3
x!
.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 4
Solución general
y = e−x3
"
c1 cos
Ã√2
3
x
!
+ c2 sin
Ã√2
3
x
!#
, c1, c2 ∈ R. ¤
Ejercicio 2 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
1. y000 − 4y00 − 5y0 = 0.
2. y000 − 5y00 + 3y0 + 9y = 0.
3.
d3u
dt3 +
d2u
dt2 − 2u = 0.
4. y000 + 3y00 + 3y0 + y = 0.
5. y(4) + y000 + y00 = 0.
6. 16
d4y
dx4 + 24d4y
dx4 + 9y = 0.
7.
d5u
dr5 + 5
d4u
dr4 − 2
d3u
dr3 − 10
d2u
dr2 +
du
dr
+ 5u = 0.
(2.1)
y000 − 4y00 + 5y0 = 0.
Ecuación característica
m3 − 4m2 − 5m = 0,
m
¡
m2 − 4m− 5
¢
= 0,
m = 0, m2 − 4m− 5 = 0,
m2 − 4m− 5 = 0,
m =
4 ± √16 + 20
2
=
4 ± √36
2
=
4 ± 6
2
=
(
10
2 = 5,
−2
2 = −1.
Raíces
m = 0, m= 5, m= −1.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e0x = 1,y2 = e5x,
y3 = e−x.
Solución general
y = c1 + c2e5x + c3e−x, c1, c2, c3 ∈ R.
(2.2)
y000 − 5y00 + 3y0 + 9y = 0.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 5
Ecuación característica
m3 − 5m2 + 3m+ 9 = 0.
Intentamos con los divisores del término independiente
±1,±3,±9.
Para m = −1, obtenemos
(−1)3 − 5(−1)2 + 3(−1) + 9 = −1 − 5 − 3 + 9 = 0.
Descomponemos usando la regla de Ruffini
1−5 3 9
−1) −1 6 −9
1 −6 9 0
m3 − 5m2 + 3m+ 9 = (m+ 1)
¡
m2 − 6m+ 9
¢
.
Resolvemos
m2 − 6m+ 9 = 0,
m =
6 ± √36 − 36
2
=
6
2
= 3 (doble) .
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e−x,
y2 = e3x,
y3 = xe3x.
Solución general
y = c1e−x + c2e3x + c3xe3x, c1, c2, c3 ∈ R.
(2.3)
d3u
dt2 +
d2u
dt2 − 2u = 0,
u000 + u00 − 2u = 0.
Ecuación característica
m3 +m2 − 2 = 0....