Variadas
Páginas: 6 (1402 palabras)
Publicado: 1 de diciembre de 2010
MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números están ordenados en filas y columnas.
Nombramos a las matrices para distinguirlas con una letra del alfabeto en mayúscula. Veamos un ejemplo.
2 A 1 7
4 3 9
3 5 11
5 7 13
Esta matriz se identifica A y tiene 16 elementos. Sus elementos están arreglados en 3 filas y 4 columnas.
El 9 es un elemento de la fila 3y la columna 2, decimos entonces que a32 = 9. La matriz A es de orden 3 x 4.
El orden de una matriz es m x n, para una matriz de m filas y n columnas. Denotamos a los elementos de la matriz A , de orden m x n, por su localización en la matriz de la siguiente forma:
a ij
donde
1 < i < m y 1 < j < n , la i se refiere a la fila , la
1 4 2 5 8 3 6 9
matriz B.
j se refiere a lacolumna de ese elemento.
Práctica
6 B 5 1
2 3 7
0 8 4
Contesta para la
7
a. ¿ Cuál es el orden de B ? b. Indica los elementos b23 = b12 = b32 = b22 =
La diagonal principal de una matriz mxm, es dada por los elementos
a ij , tal que i= j.
Matriz cuadrada es una matriz de orden n x n, es decir que tiene la misma cantidad de filas que de columnas.
1 4 7
2 5 8
3 6 9Matriz identidad , los elementos de la diagonal principal son 1 y los demás elementos son 0.
1 I 0 0
Matriz cero
0 1 1
0 0 0
0 0
0 0
Revisado en ENERO 2009
Preparado por: Prof. Evelyn Dávila
1
Simplificamos el trabajo para resolver sistemas si utilizamos sólo los coeficientes del sistema.
Con este
propósito podemos representar sistemas de ecuaciones a través dematrices y manipularlas de manera que resolvamos los sistemas que representan. Representamos un sistema de ecuaciones con una matriz de coeficientes y un vector con las constantes del sistema.
La matriz de coeficientes se compone de los coeficientes de cada ecuación del sistema. Cada ecuación compone las filas de la matriz y cada columna representa a una de las variables del sistema. Ejemplo3x
4y
5
x - 2y 1
Sistema
→
3 1
4 2
Matriz de coeficientes
Un vector es una matriz que consta de una sola fila o de una sola columna. Ejemplos
2 1
vector columna
orden 2x1
3
4
vector fila orden 1x2
Para el sistema del ejemplo anterior el vector de las constantes es
5 1
Matriz aumentada es una matriz en la que además de los coeficientes incluimoslas constantes como la última columna de la matriz. Esta matriz se utiliza para resolver sistemas por el método de Gauss J ordan o Eliminación Gausiana.
La matriz aumentada del ejemplo anterior es:
3x
4y
5
x - 2y 1
→
3 1
4
5
2 1
Práctica
Representa cada sistema con su respectiva matriz de coeficientes y el vector de constantes. Especifica
para cada uno el ordende las matrices.
Preparado por: Prof. Evelyn Dávila
Revisado en ENERO 2009
2
2x 3y
1.
4
5x 4 y 1
2x 4 y 1
2.
3y 2
3x y 3y 5y 2z z z 4 2 1
3.
2x 4x
4.
3x - 2y = 4 6x + y = 13
RESOLVER SISTEMAS M X M UTILIZANDO LA LEY DE CRAMER.
Para esto necesitamos calcular el determinante de una matriz. Determinantes Denotamos al determinante de la matriz A de ordenn x n, det A ó | A |
Determinante de una matriz 2 x 2. Sea Ejemplo B= A=
a 11 a 21
a 12 a 22
det A =
a11 a22 - a12 a21.
2 4
-1 -3
det B = (2)(-3) - (-1)(4) = -6 - (-4) = -2
Práctica 1.
2 0
3 -5
Revisado en ENERO 2009
Preparado por: Prof. Evelyn Dávila
3
2.
3 12 1 4
3
3.
2 1
6
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 3X3
2 D 1 1
1 2 2
1 4 3Una forma de hallar este determinante se presenta a continuación: Procedimiento (forma corta ) 1. Añade al final de la matriz dada, las primeras dos columnas de la esa matriz. 2. Halla el producto de las diagonales positivas de la matriz ,es decir ,las que comienzan con la primera fila y la primera columna hacia la derecha. Una matriz nxn , tiene n diagonales positivas. 3. Se suma el producto de...
Nombramos a las matrices para distinguirlas con una letra del alfabeto en mayúscula. Veamos un ejemplo.
2 A 1 7
4 3 9
3 5 11
5 7 13
Esta matriz se identifica A y tiene 16 elementos. Sus elementos están arreglados en 3 filas y 4 columnas.
El 9 es un elemento de la fila 3y la columna 2, decimos entonces que a32 = 9. La matriz A es de orden 3 x 4.
El orden de una matriz es m x n, para una matriz de m filas y n columnas. Denotamos a los elementos de la matriz A , de orden m x n, por su localización en la matriz de la siguiente forma:
a ij
donde
1 < i < m y 1 < j < n , la i se refiere a la fila , la
1 4 2 5 8 3 6 9
matriz B.
j se refiere a lacolumna de ese elemento.
Práctica
6 B 5 1
2 3 7
0 8 4
Contesta para la
7
a. ¿ Cuál es el orden de B ? b. Indica los elementos b23 = b12 = b32 = b22 =
La diagonal principal de una matriz mxm, es dada por los elementos
a ij , tal que i= j.
Matriz cuadrada es una matriz de orden n x n, es decir que tiene la misma cantidad de filas que de columnas.
1 4 7
2 5 8
3 6 9Matriz identidad , los elementos de la diagonal principal son 1 y los demás elementos son 0.
1 I 0 0
Matriz cero
0 1 1
0 0 0
0 0
0 0
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1
Simplificamos el trabajo para resolver sistemas si utilizamos sólo los coeficientes del sistema.
Con este
propósito podemos representar sistemas de ecuaciones a través dematrices y manipularlas de manera que resolvamos los sistemas que representan. Representamos un sistema de ecuaciones con una matriz de coeficientes y un vector con las constantes del sistema.
La matriz de coeficientes se compone de los coeficientes de cada ecuación del sistema. Cada ecuación compone las filas de la matriz y cada columna representa a una de las variables del sistema. Ejemplo3x
4y
5
x - 2y 1
Sistema
→
3 1
4 2
Matriz de coeficientes
Un vector es una matriz que consta de una sola fila o de una sola columna. Ejemplos
2 1
vector columna
orden 2x1
3
4
vector fila orden 1x2
Para el sistema del ejemplo anterior el vector de las constantes es
5 1
Matriz aumentada es una matriz en la que además de los coeficientes incluimoslas constantes como la última columna de la matriz. Esta matriz se utiliza para resolver sistemas por el método de Gauss J ordan o Eliminación Gausiana.
La matriz aumentada del ejemplo anterior es:
3x
4y
5
x - 2y 1
→
3 1
4
5
2 1
Práctica
Representa cada sistema con su respectiva matriz de coeficientes y el vector de constantes. Especifica
para cada uno el ordende las matrices.
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Revisado en ENERO 2009
2
2x 3y
1.
4
5x 4 y 1
2x 4 y 1
2.
3y 2
3x y 3y 5y 2z z z 4 2 1
3.
2x 4x
4.
3x - 2y = 4 6x + y = 13
RESOLVER SISTEMAS M X M UTILIZANDO LA LEY DE CRAMER.
Para esto necesitamos calcular el determinante de una matriz. Determinantes Denotamos al determinante de la matriz A de ordenn x n, det A ó | A |
Determinante de una matriz 2 x 2. Sea Ejemplo B= A=
a 11 a 21
a 12 a 22
det A =
a11 a22 - a12 a21.
2 4
-1 -3
det B = (2)(-3) - (-1)(4) = -6 - (-4) = -2
Práctica 1.
2 0
3 -5
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3
2.
3 12 1 4
3
3.
2 1
6
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 3X3
2 D 1 1
1 2 2
1 4 3Una forma de hallar este determinante se presenta a continuación: Procedimiento (forma corta ) 1. Añade al final de la matriz dada, las primeras dos columnas de la esa matriz. 2. Halla el producto de las diagonales positivas de la matriz ,es decir ,las que comienzan con la primera fila y la primera columna hacia la derecha. Una matriz nxn , tiene n diagonales positivas. 3. Se suma el producto de...
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