varianza estadistica

Bases del análisis de la varianza
Supónganse k muestras aleatorias independientes, de tamaño n, extraídas de una única población normal. A partir de ellas existen dos maneras independientes s de estimar la varianza de la población 2:
1) Una llamada varianza dentro de los grupos (ya que sólo contribuye a ella la varianza dentro de las muestras), o varianza de error, o cuadrados medios delerror, y habitualmente representada por MSE (Mean Square Error) o MSW (Mean Square Within) que se calcula como la media de las k varianzas muestrales (cada s varianza muestral es un estimador centrado de2 y la media de k estimadores centrados es también un estimador centrado y más eficiente que todos ellos). MSE es un cociente: al numerador se le llama suma de cuadrados del error y se representa porSSE y al denominador grados de libertad por ser los términos independientes de la suma de cuadrados.
2) Otra llamada varianza entre grupos (sólo contribuye a ella la varianza entre las distintas muestras), o varianza de los tratamientos, o cuadrados medios de los tratamientos y representada por MSA o MSB (Mean Square Between). Se calcula a partir de la varianza de las medias muestrales y es tambiénun cociente; al numerador se le llama suma de cuadrados de los tratamientos (se le representa por SSA) y al denominador (k-1) grados de libertad.
MSA y MSE, estiman la varianza poblacional en la hipótesis de que las k muestras provengan de la misma población. La distribución muestral del cociente de dos estimaciones independientes de la varianza de una población normal es una F con los grados delibertad correspondientes al numerador y denominador respectivamente, por lo tanto se puede contrastar dicha hipótesis usando esa distribución.
Si en base a este contraste se rechaza la hipótesis de que MSE y MSA estimen la misma varianza, se puede rechazar la hipótesis de que las k medias provengan de una misma población.
Aceptando que las muestras provengan de poblaciones con la mismavarianza, este rechazo implica que las medias poblacionales son distintas, de modo que con un único contraste se contrasta la igualdad de k medias.
Existe una tercera manera de estimar la varianza de la población, aunque no es independiente de las anteriores. Si se consideran las kn observaciones como una única muestra, su varianza muestral también es un estimador centrado de
Se suele representar porMST, se le denomina varianza total o cuadrados medios totales, es también un cociente y al numerador se le llama suma de cuadrados total y se representa por SST, y el denominador (kn -1) grados de libertad.
Los resultados de un anova se suelen representar en una tabla como la siguiente:
Fuente de variación
G.L.
SS
MS
F
Entre grupos
Tratamientos
k-1
SSA
SSA/(k-1)
MSA/MSE
Dentro Error(n-1)k
SSE
SSE/k(n-1)
Total
kn-1
SST
Y el cociente F se usa para realizar el contraste de la hipótesis de medias iguales. La región crítica para dicho contraste es F > F(k-1,(n-1)k)a
Algunas propiedades
Es fácil ver en la tabla anterior que
GLerror+ GLtrata = (n - 1) k + k - 1 = nk - k + k - 1 = nk - 1 = GLtotal
No es tan inmediato, pero las sumas de cuadrados cumplen la misma propiedad,llamada identidad o propiedad aditiva de la suma de cuadrados:
SST = SSA + SSE
El análisis de la varianza se puede realizar con tamaños muestrales iguales o distintos, sin embargo es recomendable iguales tamaños por dos motivos:
La F es insensible a pequeñas variaciones en la asunción de igual varianza, si el tamaño es igual.
Igual tamaño minimiza la probabilidad de error tipo II.
3. Modelosde análisis de la varianza
El anova permite distinguir dos modelos para la hipótesis alternativa:
Modelo I o de efectos fijos en el que la H1 supone que las k muestras son muestras de k poblaciones distintas y fijas.
Modelo II o de efectos aleatorios en el que se supone que las k muestras, se han seleccionado aleatoriamente de un conjunto de m>k poblaciones.
Un ejemplo de modelo I de anova...