Varianza

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En teoría de probabilidad, la varianza o coeficiente de variación (que suele representarse como σ2) de una variable aleatoria es una medida de su dispersión definida como la esperanza del cuadradode la desviación de dicha variable respecto a su media.

Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa enmetros al cuadrado. La desviación estándar, la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades.

Hay que tener en cuenta que la varianza puedeverse muy influida por los valores atípicos y se desaconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidasde dispersión más robustas.

El término varianza fue acuñado por Ronald Fisher en un artículo de 1918 titulado The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.

Dadauna variable aleatoria X con media μ = E(X), se define su varianza, Var(X) (también representada como \scriptstyle\sigma_X^2 o, simplemente σ2), como

\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[( X - \mu ) ^ 2].\,

Desarrollando la definición anterior, se obtiene la siguiente definición alternativa (y equivalente):

\begin{align} \operatorname{Var}(X) & = \operatorname{E}[ ( X - \mu) ^ 2 ] \ & = \operatorname{E}[ ( X ^ 2 - 2X\mu + \mu ^ 2) ] \ & = \operatorname{E}( X ^ 2) - 2\mu\operatorname{E}(X) + \mu ^ 2 \ & =\operatorname{E}( X ^ 2) - 2\mu ^ 2 + \mu ^ 2 \ & =\operatorname{E} ( X ^ 2) - \mu ^ 2. \end{align}

Si una distribución no tiene esperanza, como ocurre con la de Cauchy, tampoco tiene varianza. Existen otras distribuciones que, aun teniendo esperanza, carecende varianza. Un ejemplo de ellas es la de Pareto cuando su índice k satisface 1 < k ≤ 2.
[editar] Caso continuo

Si la variable aleatoria X es continua con función de densidad f(x), entonces...
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