Varianza

UNIDAD 2
CONTINUACION

ESPERANZA MATEMATICA DE UNA VAR.
ALEATORIA
VARIANZA DE UNA VAR.
ALEATORIA
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD CONJUNTA
COVARIANZA

ESPERANZA MATEMATICA
• Media de una variable aleatoria: se puede obtener
multiplicando cada uno de los valores x1, x2,…..xn de
la variable aleatoria X por su probabilidad
correspondiente f(x1), f(x2), ... ,f(xn) y sumando los
productos.Esto es solo si la variable es discreta. En el
caso de que sea continua se reemplaza la sumatoria
por integrales.

• Sea X una variable aleatoria con distribución de
probabilidad f(x). La de media o valor esperado es:
µ = E ( X ) = ∑ x .f (x )
x

si X es discreta
∞

µ = E (X ) =

∫ x .f (x )dx

−∞

si X es continua

Esperanza Matemática Ejemplo
Si lanzamos 16 veces 2monedas, perfectamente balanceadas, y X es el
numero de caras que ocurre en cada oportunidad que tiramos las 16
veces,. Los valores de X puede ser 0 caras, 1 caras o 2 caras, después de 3
oportunidades tenemos un total de 4, 7 y 5 veces. El promedio de
lanzamientos es:
(0)(4) + (1)(7)+(2)(5)
------------------------------------------------------- = 1.06
16
Reestructurando queda lo siguiente:0(4/16) + 1(7/16) + 2 (5/16) = 1.06
Las fracciones representan frecuencias relativas de los diferentes valores
de X. Entonces calculamos la media o promedio de un conjunto de datos
utilizando los valores que ocurren y sus frecuencias relativas.

OTRO EJEMPLO

Supongamos que lanzamos tres monedas, las caras que aparecen en
las mismas al lanzarse una vez:

•
•
•
•
•
•

Cálculo de lamedia
μ = E ( X ) = Σ [X P( X )]
μ = E ( X ) = 0 (0.125) + 1 (0.375) + 2 (0.375) + 3 (0.125)
μ =E(X)=
1.5
Estos cálculos se resumen en el cuadro siguiente:

VARIANZA DE UNA VARIABLE
ALEATORIA
• Sea X una variable aleatoria con distribución de
probabilidad f(x) y media . La varianza de la
variable aleatoria X es:

σ = E[( X − µ ) ] = ∑ ( x − µ ) . f ( x)
2

2

2

x

si X esdiscreta
∞

σ 2 = E[( X − µ ) 2 ] = ∫ ( x − µ ) 2 . f ( x)dx
−∞

si X es continua.

Varianza de una variable aleatoria
Para simplificar el calculo de la varianza.
TEOREMA
La varianza de una variable aleatorias X es:

[

]

σ = E ( X - µ ) = E(x ) −
2

2

Demostración pag.117

• La raíz cuadrada positiva de la varianza, σ, se llama
desviación estándar de X
• La cantidad(x- ) se llama desviación de una
observación respecto a su media.
• La varianza de una variable aleatoria X es:

σ 2 = E( X 2 ) − µ 2

ESPERANZA DE UNA FUNCION DE UNA V.A.

Teorema: Sea X una variable aleatoria con
distribución de probabilidad f(x). El valor esperado
de la variable aleatoria g(X) es:

µg ( X ) = E [g ( X )] = ∑ g (x ).f (x )
x

si X es discreta
∞

µg ( X ) = E [g( X )] =

∫ g (x ).f (x )dx

−∞

si X es continua

Varianza de una función de una
variables aleatorias
Teorema
Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidades
f(x). La varianza de la variable aleatoria de la funcion g(x) es:
2
σ g ( x ) = E{[g(x)
si es discreta

2
σ g ( x ) = E{[g(x)
si es continua.

-

-

g(X)

g(X)

)] } =

)] } =

∑ [g(x)

∫[g(x)

-

-

g(X)

g(x)

]

f(x)

] f(x) dx

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
CONJUNTA
• Sean X e Y variables aleatorias con distribución de
probabilidad conjunta f(x,y). La media o valor
esperado de la variable aleatoria g(X,Y) es:
µg ( X , Y ) = E [g ( X ,Y )] = ∑ ∑ g (x , y ).f (x , y )
x

y

si X e Y son discretas, y
∞∞

µg ( X , Y ) = E [g ( X ,Y )] =

∫ ∫ g (x , y).f (x , y )dxdy

−∞−∞

si X e Y son continuas.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD CONJUNTA
• Sean X e Y variables aleatorias con distribución de
probabilidad conjunta f(x,y).
La covarianza de X e Y es:
σ = E [( X − µ X )(Y − µY )] = ∑ ∑ (x − µ X )(Y − µY ).f (x , y )
x

Y

si X e Y son discretas, y
∞∞

σ = E [( X − µ X )(Y − µY )] =

∫ ∫ (x − µ X )(Y

−∞−∞

si X e Y son...