VARIANZA

UNLP-Facultad de Ingeniería

Cátedra: Estadística

Carreras: Ing. Electrónica y Electricista

Mag. Lic. Alicia Ledesma

CAPÍTULO 6

ESTIMACIÓN DE VARIANZAS Y PROPORCIONES POBLACIONALES
MEDIANTE INTERVALOS DE CONFIANZA

6.1 Intervalo de confianza para la varianza de una población normal
6.2 Intervalos de confianza para la proporción poblacional para muestras grandes
6.3 Intervalosde confianza para la diferencia entre dos proporciones

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Mag. Lic. Alicia Ledesma

6.1 Intervalo de confianza para la varianza de una población normal
Supongamos una población N (, 2) donde  es desconocida y deseamos obtener un intervalo de
confianza para la varianzapoblacional 2 al nivel de confianza del (1-) 100%.
Para ello tomamos una muestra aleatoria (X1, X2,…, Xn) de la población, consideramos el estimador
2
ˆ2
puntual de 2 ya estudiado ( σ = S ) y usamos un estadístico pivote que dependa del parámetro 2 y de
2
su estimador S y cuya distribución muestral no dependa de 2.
Definimos el estadístico pivote como sigue:
n
2
(n - 1) ∑ (X - X)
n
l1 i2
∑ ( X - X)
2
n X i - X 2 i 1 i
(n - 1)S
(n - 1)
W ( X 1 , X 2 ,..., X n ;  )  ∑ (
) 


2
2
2
i 1 



Recordemos que,
a) S2 es la varianza muestral.
(n - 1)S 2
b)
para cada valor fijo de 2 sigue una distribución Chi –Cuadrado con (n-1) grados de
2

σ

2
libertad (a esa v.a. la indicamos χ n -1

).

Una vez fijado el nivel de confianza (1-), podemosencontrar dos valores k1 y k2 tales que:
P[k1 ≤χ 2 -1 ≤k 2 ] = 1 - α
n
Estos valores k1 y k2 se determinan de manera tal que el intervalo que se obtenga sea de longitud
mínima, pero, como la distribución Chi Cuadrado no es simétrica resulta que los extremos del intervalo
dependerán de los grados de libertad, y con el fin de simplificar y poder llegar a un intervalo único se
adoptará elcriterio de considerar la misma probabilidad en los dos extremos, es decir,
k1 = /2 y k2 = /2

2
Distribución χ n -1

Para obtener el intervalo de confianza planteamos:
2
2
 n -1,1- /2
 n-1, /2
(n - 1).s 2
1
2
2
P[  n-1, 1-/2 ≤
≤ n-1, /2 ]  1 -  ⇒ P[
≤
≤
]  1-
2
(n - 1)s 2
2
(n - 1) s 2

O bien,
P[

(n - 1) s 2
(n - 1)s 2
(n - 1)s 2
(n - 1)s 2
≥ 2≥

] 1 -  ⇒ P[
≤ 2≤

]  1-
2
2
2
2
 n-1,1- /2
 n-1, /2
 n -1, /2
 n-1, 1-/2

Podemos dar entonces la siguiente definición:

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Definición Intervalo de confianza para la varianza de una distribución normal
Si s2 es la varianza muestralde una muestra aleatoria de n observaciones tomadas de una
distribución normal con varianza desconocida 2, entonces un intervalo de confianza del (1-)
100% para 2 es,

(n - 1).s 2
(n - 1)s 2
2
  2
2
 n -1, /2
 n -1,1- /2
2
2
donde, χ n -1, α/2 y χ n -1,1- α/2 son los puntos críticos superior e inferior que corresponden al
porcentaje /2 de la distribución Chi-Cuadrado con = n-1 grados de libertad, respectivamente.

Intervalos de confianza unilaterales
a) Para hallar un intervalo de confianza inferior del (1-)100% para 2, análogamente a lo visto
anteriormente planteamos,

P[

(n - 1).S2
(n - 1).S2
2
≤ n-1,  ]  1 -  ⇒ P[
≤ 2 ]  1- 

2
2

 n-1, 

por tanto el intervalo tendrá la forma,



2



2
( n - 1).S
2
 n-1, 

b)El intervalo de confianza superior del (1-)100% se obtiene planteando,
P[

( n - 1).S
2


2

2
( n - 1).S
2
2
  n-1, 1-  ]  1 -  ⇒ P[
  ]  1-
2
 n-1, 1-

obteniendo el intervalo,
2
( n - 1).S
 ≤
2
 n-1, 1- 
Ejemplo Una fábrica de tornillos está interesada en la uniformidad de la máquina que los corta. En
concreto es deseable que la desviación típica,...