varias variables

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¢1 ¡

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática

VARIAS VARIABLES
para MAT023
Verónica Gruenberg Stern
veronica.gruenberg@usm.cl

Nociones de Topología en el Espacio Euclideano Rn

Definición 1.1. En el espacio vectorial Rn , definimos el producto interior euclideano entre los
vectores x, y ∈ Rn , x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn )como
n

x, y = (x1 , x2 , · · · , xn ), (y1 , y2 , · · · , yn ) =

x i yi
i=1

El espacio vectorial Rn dotado del producto interior euclideano se denomina espacio vectorial
euclideano de dimensión n.
Observación. Es usual llamar también a este producto producto punto y denotarlo por
x, y = x · y

Propiedades 1.1. Sean x, y, z ∈ Rn , α, β ∈ R.
1. x, x ≥ 0

y

x, x = 0

⇐⇒Entonces se cumplen las siguientes:

→
−
x= 0.

2. x, y = y, x .
3. αx + βy, z = α x, z + β y, z .
Demostración. Ejercicio para el lector.
Definición 1.2. Sea x ∈ Rn ,
x ,a

x = (x1 , x2 , · · · , xn ). Definimos la norma de x, y la denotamos por
n

x

x2
i

=
i=1

Notar que la norma de un vector en Rn así definida es un número real no negativo y corresponde
al tamaño ó magnitudde dicho vector.

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1.

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Definición 1.3. Si x, y ∈ Rn ,
entre ellos se define por

x = (x1 , x2 , · · · , xn ),

y = (y1 , y2 , · · · , yn ), entonces la distancia
n

=
i=1

(xi − yi )2 .

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x−y

Si n = 1, 2 ó 3, la distancia asídefinida coincide con la distancia euclideana usual.
x = x ∈ R,

En efecto, si n = 1,

y = y ∈ R,

(x − y)2 = |x − y|

d(x, y) = d(x, y) =
Si n = 2,

x = (x1 , x2 ),

y = (y1 , y2 ),

por lo que la distancia

entonces

2

d(x, y) = x − y =

i=1

(xi − yi )2 =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2

Análogamente en el caso en que n = 3.
A continuación, presentamos las propiedadesfundamentales que satisfacen la norma de un vector
y la distancia entre dos vectores.
Propiedades 1.2. Sean x, y, z ∈ Rn , α ∈ R.
1. x ≥ 0
2. x = 0

⇐⇒

Entonces se cumplen las siguientes:
5. d(x, y) ≥ 0

→
−
x= 0.

4.

⇐⇒

6. d(x, y) = 0

3. αx = |α| x .
x−y = y−x .

x=y

7. d(x, y) = d(y, x)

n

8. | x, y | =
9.

i=1

x i yi ≤ x

y , conocida como ladesigualdad de Cauchy–Schwarz.

x+y ≤ x + y

10. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

conocidas como desigualdad triangular, tanto para la norma como para la distancia.
Demostración. Demostraremos sólo 8, 9 y 10.
→
−
8. Supongamos que x, y son vectores l.i. Luego, tx−y = 0 , ∀t ∈ R, de donde tx − y
es decir:
(tx1 − y1 )2 + (tx2 − y2 )2 + · · · + (txn − yn )2 = 0

2

= 0,

Reescribiendo estarelación como una ecuación cuadrática en la variable t:
n

n

x2
i
i=1

MAT023 (1◦ 2012)

t2 − 2

n

x i yi
i=1

2
yi

t +

= 0

i=1

2

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d(x, y) =

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Esto significa que el discriminante de la correspondiente ecuación de segundogrado en t es
negativo, es decir,

4

n

i=1

⇐⇒

x i yi
i=1

2
yi

i=1
2

n

n

x2
i

− 4

xi yi

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2

n

< 0

i=1
n

n

x2
i

<

2
yi

i=1

i=1

9.
x+y

2

= (x + y) · (x + y)
= x 2 + 2 (x · y) + y 2
≤ x 2 + 2 |x · y| + y 2
≤ x 2 + 2 x y + y
≤ ( x + y )2

2

Nuevamente, extrayendo raíz cuadrada, obtenemos lo pedido.
10.d(x, y) =

x−y

=

x−z+z−y

≤

x−z + z−y

≤ d(x, z) + d(z, y)

Definición 1.4. Definimos la bola abierta ó vecindad abierta de centro a y radio r, al conjunto
B(a, r) = {x ∈ Rn : x − a < r} .
Análogamente, definimos la bola cerrada ó vecindad cerrada de centro a y radio r, al conjunto
B(a, r) = {x ∈ Rn : x − a ≤ r} .
Ejemplos
z

Y

3.0
2.0

3
-1.
0

2
1

5.0

4.0...