varible compleja

Variable Compleja
Teoria, problemas resueltos y propuestos
Dr. Carlos Lizama
Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de Matem´tica y C.C.
a

Introducci´n
o
El presente texto de apuntes de Variable Compleja corresponde
al curso del mismo nombre (hoy C´lculo IV) impartido por el aua
tor a la carrera de Ingenier´ Matem´tica durante varios semestres
ıa
aconsecutivos.
Agradecimientos a Daniela Vilches, quien logr´ dar forma casio
final a estos apuntes durante el primer y segundo semestres del 2012.

Santiago, Marzo 2013.

1

´
Indice general
1. Preliminares

4

1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

4

1.2. Propiedades algebraicas

. . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Representaci´n Geom´trica. . . . . . . . . . . . . . .
o
e

9

1.4. Ecuaci´n del C´
o
ırculo y de la Recta . . . . . . . . . . 13
1.5. Proyecci´n Estereogr´fica . . . . . . . . . . . . . . . . 14
o
a
1.6. Topolog´ en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ıa
1.7. Funciones B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
a
2. Funciones de Variable Compleja

25

2.1. Funciones anal´
ıticas . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Algunas funciones de variable compleja. . . . . . . . . 37
3. Series

43

3.1. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2. Representaciones por series de Taylor . . . . . . . . . 48
3.3. Serie geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
e
3.4. Extensi´n anal´
o
ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

3
3.5. Prolongaci´n anal´
o
ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6. Transformaciones conformes . . . . . . . . . . . . . . 56
4. Integraci´n
o

57

4.1. Definici´n y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 57
o
4.2. Formula de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3. Teor´ de indice y homotop´
ıa
ıa

. . . . . . . . . . . . . 62

4.4. Teoremasfundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5. Polos y residuos

74

5.1. Desarrollo en serie de Laurent . . . . . . . . . . . . . 74
5.2. Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3. C´lculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
a
5.4. Aplicai´n del Teorema de Residuos . . . . . . . . . . 89
o
5.5. F´rmula de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 96
o
5.6. F´rmula de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
o
5.7. Automorfismos del disco unitario . . . . . . . . . . . 104
6. Ejercicios

109

6.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Cap´
ıtulo 1

Preliminares
1.1.

Introducci´n
o

La primera noci´n de un n´merocomplejo fue descubierta en conexi´n
o
u
o
con resolver ecuaciones cuadr´ticas.
a
Consideremos, por ejemplo, la ecuaci´n z 2 + 1. Obviamente, esta
o
no tiene soluciones reales, ya que para cualquier real x, x2 ≥ 0 y
x2 + 1 > 0.
√
u
La idea es escribir, formalmente, z = ± −1; pero no existe n´mero
real cuyo cuadrado de −1. Luego, si la ecuaci´n tiene una soluci´n,
o
o
debe ser en unsistema de n´meros mayor que el conjunto de los
u
n´meros reales.
u
Este fue el problema planteado a matem´ticos por alrededor de 700
a
a˜os: Extender los reales a un sistema mayor de n´meros en el cual
n
u
la ecuaci´n z 2 + 1 puede tener una soluci´n.
o
o
C. Gauss (1780-1840) fue el primer matem´tico en usar sistem´ticaa
a
4

CAP´
ITULO 1. PRELIMINARES

5

mente n´meroscomplejos. La serie Hipergeom´trica
u
e

1+

ab
a(a + 1)b(b + 1) 2
x+
x + ...
c
c(c + 1) · 1 · 2

Se comprende mejor al analizar los complejos | x |< 1. (Note que si
b = c y a = 1 se obtiene la serie geom´trica).
e
Gauss Demostr´:
o
”Toda ecuaci´n an z n + an−1 z n−1 + ... + a0 = 0 tiene n-soluciones en
o
C”.
A. L. Cauchy di´ la estructura central al desarrollo de variable como...