Vectores en 3d (o en r3)

VECTORES EN 3D (O EN R3)
Presentación: este apunte te servirá para repasar y asimilar que son los vectores en un espacio tridimensional, sólo hablamos de los vectores como se utilizan en Álgebra, para Física hay una pequeña diferencia que aquí no es relevante. Entender como representar puntos y vectores en 3D, saber representarlos en el papel, es fundamental para entender lo que viene después:ecuación del plano, ecuación de la recta y “Espacios Vectoriales”. Algo de vectores debés haber visto en el secundario (o polimodal o como m... lo llamen). Si no sabés dibujar en perspectiva para representar elementos de R3 vas a tener problemas, así que aprende con lapicera y papel borrador (no hace falta regla ni compás). Ya vas a tener tiempo de hacer abstracciones cuando estudies “EspaciosVectoriales”, ahí cuando trabajes con más de 3 dimensiones, no vas a poder dibujarlo ni aunque quieras. Sobre el final de este trabajo hablamos de BASES y GENERADORES, te servirá para cuando estudies ESPACIOS VECTORIALES. ¡Que lo aproveches!

¿QUÉ ES UN VECTOR?
Para nosotros, en este trabajo de Álgebra un vector es un segmento orientado, es decir el trozo de recta que queda determinado por dospuntos A y B, orientado significa que no es lo mismo AB que BA. Si decimos que el vector es AB, quiere decir que comienza en el punto A y termina en el B. De los elementos que conforman una magnitud vectorial; módulo o longitud, dirección, sentido, punto de aplicación, en Álgebra solo nos interesan algunos, en Física interesan otros más. ¿Cuáles son los que nos interesan? . La dirección o recta deacción, el Sentido (para donde va) y el módulo o longitud, estos son vectores libres. Para nosotros, dos vectores paralelos, con el mismo sentido y del mismo módulo son equivalentes. Estos vectores libres quedan definidos por sus tres componentes (vx , vy , vz) En el dibujo de la derecha tenemos dos vectores equivalentes: v1=AB y v2=DE cuyas componentes son: v1x= xB – xA
;

v1y= yB – yA ;v 1z= zB– zA

o como decimos vulgarmente V1 = B-A Es decir que tomamos los puntos A y B como Vectores Puedo calcular las coordenadas de E sabiendo que las de D son (18;2;16)... Si, hacelo vos.

ACLARACIÓN: Puntos como vectores: Cuando decimos que un punto se puede ver y utilizar como un vector es que estamos tomando como punto inicial el origen de coordenadas (0;0;0) y como punto final del vector elpunto en cuestión. De ahora en más vamos a considerar que un punto y su representación como vector son lo mismo. En el ejemplo anterior, el vector A es (6;7;14) y el B es (4;15;16) el AB es (-2;8;2) y puedo escribir que B=A+AB, nada del otro mundo si pensamos que AB = B-A

En realidad lo que más nos importa de los vectores libres es la dirección y sentido que tienen. Esto no implica que el módulo olongitud no sirva o sea irrelevante. Versores: son vectores cuyo módulo es la unidad. En este caso se utilizan para indicar direcciones y sentidos (recordar que aquí la palabra dirección se refiere a la recta de acción del vector). Hay tres versores que son particulares y hasta tienen nombre propio: i, j y k , esto son vectores unitarios en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente.OPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES
Suma y resta de vectores: los vectores se pueden sumar y restar, haciendo la operación correspondiente componente a componente: Suma Sea v1= (v1x;v1y;v1z) y v2= (v2x;v2y;v2z) ... Si v3 = v1 + v2 entonces v3 = (v1x + v2x ; v1y + v2y ; v1z + v2z) Resta Sea v1= (v1x;v1y;v1z) y v2= (v2x;v2y;v2z) ... Si v3 = v1 - v2 entonces v3 = (v1x - v2x ; v1y - v2y ; v1z - v2z)Existe la multiplicación o producto de vectores: puede ser el producto de un vector por un escalar (un valor cualquiera perteneciente a los reales R) o de dos vectores entre si. El producto de vectores entre si lo podes estudiar descargando y leyendo “Multiplicación de vectores”. Para multiplicar un vector por un escalar se multiplica cada componente por el escalar (es como hacer una...