Vectores En El Espacio

TEMA 5

Ejercicios / 1

TEMA 5: VECTORES EN EL ESPACIO
1. Dados dos vectores u  1, 2, 3 y v  2, 1, 4 , se pide: a) Su producto escalar. b) El

módulo de cada vector. c) El ángulo que forman. d) El valor que debe tener el coeficiente ” m” para que el vector w  0, 3, m sea ortogonal al vector v.

SOLUCIÓN:
a. b.

1, 2, 3  2, 1, 4  2

2

12  12

u  1 4 9  14 v  4 1 16  21 12  14 21 12 ® 249  arccos 12 249 40 o 29  40 

c. cos

d. Para que w sea ortogonal a v, debe ser el producto escalar igual a 0.

Luego: 0, 3, m  2, 1, 4  3

4m  0 ® m  3 4

2. Comprueba si la base formada por los vectores
5 u1  , 0, 5 ortonormal. 2 5 5

, u2 

0,

2 5 5

,

5 5

, u3 

2 5 5

,

5 5

, 0 , es normada, ortogonal u

SOLUCIÓN: Veamosque es normada: 5 u1  0 20  1  1 25 25 20 5  1  1 u2  0 25 25 5 u 3  20 0  1  1 25 25 Veamos si es ortogonal: 5 u1  u2  , 0, 2 55  0, 25 5 , 55  2 5 5 Luego la base no es ortogonal Como la base no es ortogonal, tampoco será por tanto ortonormal.

3. Calcula los valores x e y para que el vector x, y, 1 sea ortogonal a los vectores

Isabel Rodríguez Fernández

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Ejercicios/ 2

3, 2, 0 y 2, 1, 1 .

SOLUCIÓN: Para que el vector x, y, 1 sea ortogonal a 3, 2, 0 , debe ser 0 el producto escalar x, y, 1  3, 2, 0  3x 2y  0 Análogamente para que x, y, 1 sea ortogonal a 2, 1, 1 : x, y, 1  2, 1, 1  1 2x y  0 Por tanto para que el vector x, y, 1 sea perpendicular a los dos deben verificarse las ecuaciones: 3x 1 2y  0 2x y  0

Si resolvemos el sistemaencontramos que x  2 e y  3

4. Dados los vectores u 1  2, 0, 0 , u 2  0, 1, 3 y u 3  au 1

bu 2 . ¿Qué relación deben

satisfacer a y b para que el módulo de u 1 sea la unidad?

SOLUCIÓN: Si calculamos la coordenadas del vector u 3 obtenemos: u 3  au 1 bu 2  a 2, 0, 0 b 0, 1, 3  2a, b, 3b Para que el módulo sea 1: u 3  4a 2 b 2 9b 2  4a 2 10b 2  1 ® 4a 2 10b 2  1

5. Dados losvectores u  3, 1, 1 y v  2, 3, 4 , halla un vector que sea unitario y

ortogonal a ambos.

SOLUCIÓN: El vector pedido debe llevar la dirección del producto vectorial u  v (por ser perpendicular a u y a v) Calculamos el producto vectorial: i u  v  3, 1, 1  2, 3, 4  j k 1  7, 14, 7 3 1

2 3 4 Para obtener un vector unitario en la dirección del vector u  v, basta con multiplicar este 1 vectorpor uv Calculamos en primer lugar el módulo de u  v: u  v  49 196 49  7 6 1 u  v  1 7, 14, 7  1 6 , 1 6 , 1 6 6 3 6 uv 7 6

Isabel Rodríguez Fernández

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Ejercicios / 3

Un vector unitario y perpendicular a u y a v es

1 6

6,

1 3

6,

1 6

6

6. Dos vectores a y b son tales que |a|  10, |b|  10 y |a

b|  20. Halla el ángulo que

forman los vectores.SOLUCIÓN: Teniendo en cuenta que para cualquier vector u siempre se verifica que u  u  u tendremos que: a b  a b  |a b| 2  400 Por otro lado utilizando las propiedades del producto escalar: a b  a b  a  a a  b b  a b  b  |a| 2 2 a  b Igualando los dos valores obtenidos para a 200 2 ab  400 ® 2 a  b b  a  200 ® a  b  100 |b| 2  200

2

2 ab

b , tenemos:

El cosenodel ángulo que forman los vectores será: cos  a  b  100  1 ®  arccos 1  0 o 10  10 |a||b| Forman ángulo de 0 o .

7. Dados los vectores u  2, 1, 3 , v  1, 2, 3 y w 

1, 1, 0 , calcula el volumen del

paralelepípedo que determinan.

SOLUCIÓN: 2 u, v, w  1 1 2 3 3  6

1 1 0 El volumen es el valor absoluto del producto mixto. Luego el volumen del paralelepípedo que determinan es6 u 3

8. Si a y b son dos vectores cualesquiera del espacio con a

 b , probar que el

vector a

b es perpendicular al vector a

b.

SOLUCIÓN: Para probar que el vector a b es perpendicular a a b, es suficiente con ver que el producto escalar de esos dos vectores es 0. 2 2 a b  a b  aa ab ba bb  a b  0

Isabel Rodríguez Fernández

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Ejercicios / 4

Por tanto...