Vectores en el espacio

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VECTORES PARALELOS Y ORTOGONALES EN R3
Dos vectores u y v diferentes de cero son:
• Paralelos, si el ángulo entre ellos es cero o π.
• Ortogonales(o perpendiculares), si el ángulo entre ellos esπ2.
Teorema 1
• Si u≠0, entonces u y v son paralelos si y solo si v= ∝u para algún escalar ∝≠0.
• Si u y v son diferentes de cero, entonces u y v son ortogonales si y solo si u.v=0.
Ejemplo 1:
u =(-4, 3)  ,   v = (9, 12)

< u.v > = (-4, 3)·(9, 12) = (-4)·9 + 3·12 = -36 + 36 = 0
Teorema 2
•Sea v un vector diferente de cero, entonces para cualquier otro vector u, w= u-u.v|v|2v
es ortogonala v.
Ejemplo 2:
u = (-4, 3), v = (-20, 15)
Se verifica fácilmente que existe k = 5 (o k=1/5, dependiendo del lado que multiplique) tal que:
-20 = -4·k = -4·5 = -20
15 = 3·k = 3·5 = 15
CALCULODE UNA PROYECCION EN R3
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyección de u sobre v, denotada por proy(v) u esta definida por:
proy(v) u= u.v|v|2v .La componente de u en ladirección de v esta dad por u.v|v|2 .
Ejemplo 1: Sean u= 2i+3j+k y v= i+2j-6k. Encuentre proy(v) u.
En este caso (u.v)/ |v|2 = 2/41 y proy(v) u = 241i+441j-1241k. La componente de u en la dirección v es(u.v)/|v| = 2/41 .

PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES
Sean u= a1i + b1j + c1k y v= a2i + b2j + c2k . Encuentre el producto cruz (producto vectorial) de u y v, denotado por u x v, es un nuevo vectordefinido por:
Uxv= (b1c2-c1b2) i + (c1a2-a1c2) j + (a1b2-b1a2) k .
Ejemplo 1:
Sean u = i-j+2k y v= 2i+3j-4k. Calcule w= u x v.
W= ((-1)(-4) - (2)(3)) i + ((2)(2) - (1)(-4)) j + ((1)(3) - (-1)(2))k = -2i + 8j + 5k
Ejemplo 2:
Calcular el producto cruz de los vectores  = (1, 2, 3) y  = (−1, 1, 2).

RECTAS Y PLANOS EN R3
Generalidades.
En el plano R2 se puede encontrar la ecuación de unarecta si se conocen dos puntos sobre la recta, o bien, un punto y la pendiente de la misma. En R3 la intuición dice que las ideas básicas son las mismas. Como dos puntos determinan una recta, debe...
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