Vectores en el espacio

Vectores en el espacio
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el
origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ.
Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en unpunto y su
extremo en el otro.

Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes
del vector ������⃗
𝐴𝐴𝐴𝐴 se obtienen restando a las coordenadas del extremo las del origen.
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Ejemplo:
Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices
A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene
módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Dados los vectores y ,

hallar sus módulos

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

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Distancia entre dos puntos
La distancia entre dospuntos es igual al módulo del vector que determinan dichos puntos.

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(2, 3, −1).

Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
Normalizar un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y
sentido que el vector dado. Para ello se divide cada componente del vector por su módulo.

Operaciones con vectores en elespacio
Suma de vectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Ejemplos
Dados

= (2, 1, 3),

= (1, −1, 0),

= (1, 2, 3), hallar el vector

𝑋𝑋⃗= 2u + 3v − w.

𝑋𝑋⃗ = (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)

Dados los vectores𝑢𝑢
���⃗(2,4,5) 𝑦𝑦 𝑣𝑣
���⃗(3,1,2) hallar el módulo del vector . 𝑢𝑢
���⃗ − 𝑣𝑣
���⃗

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Propiedades de la suma de vectores
Asociativa
+(

+

)=(+

)+

Conmutativa
+

=

+

Elemento neutro
+

=

Elemento opuesto
+ (−

)=

Producto de un número real por un vector
El producto de un número real k ∈ ℝpor un vector 𝑢𝑢
���⃗ es otro vector:
De igual dirección que el vector 𝑢𝑢
���⃗.

Del mismo sentido que el vector 𝑢𝑢
���⃗ si k es positivo.
De sentido contrario del vector 𝑢𝑢
���⃗ si k es negativo.
De módulo

Las componentes del vector resultantese obtienen multiplicando por K las componentes del
vector.

Propiedades del producto de un número por un vector
Asociativa
k · (k' · 𝑢𝑢
���⃗) = (k · k') · 𝑢𝑢
���⃗

Distributiva respecto a la suma de vectores
k · (𝑢𝑢
���⃗+ 𝑣𝑣
���⃗) = k · 𝑢𝑢
���⃗+ k · 𝑣𝑣
���⃗
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Distributiva respecto a los escalares
(k + k') ·𝑢𝑢
���⃗ = k · 𝑢𝑢
���⃗+ k' · ���⃗
𝑢𝑢
Elemento neutro
1 · 𝑢𝑢
���⃗= ���⃗
𝑢𝑢

Ejemplo

Dado𝑣𝑣
���⃗= (6, 2, 0) determinar 𝑢𝑢
���⃗ de modo que sea 3𝑢𝑢
���⃗ = 𝑣𝑣
���⃗.

Dependencia e independencia lineal. Bases
Combinación lineal
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos
vectores multiplicados previamente por escalares.

Ejemplo:

Cualquier vector se puede expresar como combinación lineal de un conjunto de vectores que
tengan distinta dirección.

Estacombinación lineal es única.

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Vectores linealmente dependientes
Un conjunto de vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay
una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, con la condición de que alguno de
los coeficientes de la combinación lineal distinto de cero.

Propiedades
1. Si un conjunto de vectores son linealmente dependientes, entonces almenos uno de
ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.
Si son linealmente dependientes

Con alguno de los coeficientes distinto de cero. Despejando tendremos:

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces los
vectores son linealmente dependientes.
2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos....