Vectores en el Plano

Vectores en el plano:
Vector fijo y libre:
Llamamos vector fijo AB al segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.
Modulo: Es la longitud del vector. Lo representamos por AB
Dirección: Es la dirección de la recta que lo contiene si dos vectores son paralelos tienen la misma dirección.
Sentido: Es el que va del al extremo. Lo representamos por la punta dela flecha. Una dirección tiene dos sentidos.

Vectores equipolentes:
Son los Vectores que tienen: mismo módulo, dirección y sentido.
Todos los vectores del gráfico tienen la misma dirección, sentido y magnitud son todos ellos equipolentes. También decimos que son representantes del vector libre.
Así, los vectores AB,CD y EF son equipolentes y representantes del mismo vector libre.Operaciones con Vectores:
El producto de un número por un vector u es otro vector libre representado por a. u
El vector a. u mantiene la dirección pero puede cambiar el sentido o la magnitud del vector u.
Si a > 0, a. u tiene el mismo sentido que u, y si a < 0 tienen sentido contrario.
Si a > 1, el vector a-u se dilata o alarga y si a < 1, el vector a. u corresponde al vector nulo (0,0)
En elgráfico se muestran los vectores múltiplos de u, la mitad de u con a= ½,el doble de u con a= 2 y el opuesto de u con a= -1.



Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
 

Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común,se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.




Resta de vectores

Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.








Producto de unnúmero por un vector
El producto de un número k por un vector es otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
De sentido contrario del vector si k es negativo.
De módulo


Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.







Vectores linealmente dependientes
Varios vectoreslibres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.


Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.


También se cumple el reciproco: si un vectores combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3. Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.


Vectores linealmente independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes sininguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
Ejemplo
Deterrminar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.: = (3, 1) y = (2, 3)


Producto escalar
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En matemática, elproducto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto (en inglés, dot product), es una operación binaria definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar...