vectores en R2 y R3

Capítulo

3

VECTORES EN R2 Y R3

En la sección 1.5 se definieron los vectores columna y vectores renglón como conjuntos ordenados de n números reales o escalares. En el siguiente capítulo se definirán otros tipos de
conjuntos de vectores, denominados espacios vectoriales.
En principio, el estudio de los espacios vectoriales arbitrarios es un tema abstracto. Por
esta razón es útil poder contarcon un grupo de vectores que se pueden visualizar fácilmente
para usarlos como ejemplos.
En el presente capítulo se discutirán las propiedades básicas de los vectores en el plano xy
y en el espacio real de tres dimensiones. Los estudiantes que conocen el cálculo de varias variables ya habrán conocido este material, en cuyo caso se podrá cubrir rápidamente, a manera de
repaso. Para los que no, elestudio de este capítulo proporcionará ejemplos que harán mucho
más comprensible el material de los capítulos 4 y 5.

3.1

VECTORES

SEGMENTO DE
RECTA DIRIGIDO

EN EL PLANO
Como se definió en la sección 1.5,
es el conjunto de vectores (x1, x2) con xl y x2 números
reales. Como cualquier punto en el plano se puede escribir en la forma (x, y) es evidente que
se puede pensar que cualquier punto en elplano es un vector en , y viceversa. De este modo,
los términos “el plano” y “ 2” con frecuencia son intercambiables. Sin embargo, para muchas
aplicaciones físicas (incluyendo las nociones de fuerza, velocidad, aceleración y momento) es
importante pensar en un vector no como un punto sino como una entidad que tiene “longitud”
y “dirección”. Ahora se verá cómo se lleva a cabo esto.
Sean P y Q dospuntos en el plano. Entonces el segmento de recta dirigido de P a Q, denotado
S
por PQ, es el segmento de recta que va de P a Q (vea la figura 3.1a). Observe que los segmentos
S
S
de recta dirigidos PQ y QP son diferentes puesto que tienen direcciones opuestas (figura 3.1b).

3.1
y

Vectores en el plano

y

Q

221

Q

Figura 3.1
Los segmentos de recta
S
S
dirigidos PQ y QP apuntan
hacia direccionesopuestas

P
0

P

x

0

S
a) PQ

x

S
b) QP

y

Figura 3.2
Un conjunto de segmentos
de recta dirigidos equivalentes

PUNTO INICIAL
PUNTO TERMINAL
SEGMENTOS DE
RECTA DIRIGIDOS
EQUIVALENTES

DEFINICIÓN 1

0

x

S
El punto P en el segmento de recta dirigido PQ se denomina punto inicial del segmento y el
punto Q se denomina punto terminal. Las dos propiedades más importantes de un segmento
de rectadirigido son su magnitud (longitud) y su dirección. Si dos segmentos de recta dirigiS
S
dos PQ y RS tienen la misma magnitud y dirección, se dice que son equivalentes sin importar
en dónde se localizan respecto al origen. Los segmentos de recta dirigidos de la figura 3.2 son
todos equivalentes.

Definición geométrica de un vector
El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a unsegmento de
recta dirigido dado se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se
denomina una representación del vector.

Observación. Los segmentos de recta dirigidos en la figura 3.2 son todos representaciones del
mismo vector.
De la definición 1 se observa que un vector dado v se puede representar de múltiples formas.
S
Sea PQ una representación de v. Entonces, sin cambiarmagnitud ni dirección, se puede mover
S
PQ en forma paralela de manera que su punto inicial se traslada al origen. Después se obtiene
S
el segmento de recta dirigido 0R, que es otra representación del vector v (vea la figura 3.3).
Ahora suponga que la R tiene las coordenadas cartesianas (a, b). Entonces se puede describir
S
S
el segmento de recta dirigido 0R por las coordenadas (a, b). Es decir, 0R esel segmento de recta
dirigido con punto inicial (0, 0) y punto terminal (a, b). Puesto que una representación de un
vector es tan buena como cualquier otra, se puede escribir el vector v como (a, b).

222

CAPÍTULO 3

Vectores en R2 y R3

Figura 3.3

y

S
Se puede mover PQ para
obtener un segmento de
recta dirigido equivalente
con su punto inicial en el
S
origen. Observe que 0R y
S
PQ son...