Vectores espaciales

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Vectores Espaciales
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VECTORES en R y R

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1.- Definición: vector en R

n

Se define como un ente matemático que contiene elementos ordenados en matrices de 1 fila y n columnas,
cuyos elementos pueden representarse en un espacio de coordenadas.

Ejemplo; un vector general en R

2

Rn  u  (u1 , u2 , u3 ,....., un )


 A   a1 , a2  , en R 3  A   a1 , a2 , a3 Z

Y


a2


a3

A


a1

a1

X

2.- Vectores base o unitarios en


a2

Y

X

R3 :

Son comúnmente llamados versores, además poseen módulo unitario por lo tanto cumplen la función de indicar
simplemente la dirección del vector y se denotan por

3.- Definición:

ˆ j ˆ
i , ˆ, k .
Z


k


i  1,0,0,


i

   0,1,0
j

k   0,0,1

j

Y

X

  

Sea i ; j ; k vectores unitarios en la dirección de cada eje X,Y,Z. Por lo tanto cada vector en
escribir como una combinación lineal de los vectores base.
Sea
Ejemplo:





A   a1 , a2 , a3   a1i  a2 j  a3k


A  2,3,5  21,0,0   30,1,0  50,01



j
A = 2i  3   5k

4.- PROPIEDADES DE LOS VECTORES ESPACIALES

Los vectoresespaciales son ortogonales dos a dos y forman una base ortonormal para R
5.- PROPIEDADES Y OPERACIONES VECTORIALES EN R
Sea

3


ˆ 
ˆ
ˆ
ˆ
u  a1i  a2 ˆ  a3k ; v  b1i  b2 ˆ  b3k dos vectores, entonces se cumple:
j
j

1.-Igualdad de vectores:

 
u  v ssi ai  bi

2.- Suma de vectores

 
ˆ
ˆ
u  v  a1  b1 i  a2  b2  ˆ  a3  b3 k
j

i  1,2,3

3R 3 se puede

2

 
ˆ
ˆ
u  v  a1  b1 i  a2  b2  ˆ  a3  b3 k
j

3.- Resta de vectores

4.- Multiplicación de un vector por un escalar

:



ˆ
ˆ
 u   a1i   a2 ˆ   a3k
j

3
 
u  v  a1b1  a2b2  a3b3   ai bi

5.- Producto Interno de vectores

i 1

a. todo producto interno entre dos vectores da como resultado un escalar.
b. el productopunto entre vectores puede ser nulo aunque los vectores no lo sean.
6.- Vectores perpendiculares: dos vectores son perpendiculares (ortogonales) si su producto punto es cero.

 
u v  0



 
u v

7.- Norma o módulo de un vector: Se define como la raíz cuadrada del producto punto del vector consigo
mismo.


 
2
2
2
u  u  u  a1  a2  a3
8.- Interpretación geométricadel producto punto: el producto punto entre dos vectores nos permite
determinar el ángulo entre los vectores.

 
u  v  u  v cos 


v

 
u

 
u v
Una explicación para justificar una notación propia del cálculo y la física.

9.- Producto vectorial o cruz:

ˆ
ˆ
i
j
 
 
ˆ
ˆ
ˆ  a2 ˆ  a3k  b1i  b2 ˆ  b3k equivale a resolver u  v  a1 a2
ˆ
u  v  a1i
j
jb1 b2







ˆ
k
a3
b3

Nota

ˆ
ˆ
i
j
 
u  v  a1 a 2
b1 b 2

ˆ
k
a3
b3

usando el método del Subdeterminante y desarrollando por la primera fila se tiene :



a2
b2

a 3 ˆ a1 a 3 ˆ a1 a 2 ˆ
i
j
k
b3
b1 b3
b1 b 2

 
ˆ
ˆ
u  v  a2b3  a3b2  i  a1b3  b1a3  ˆ  a1b2  a2b1  k
j
Ejemplo: Halle el producto cruz de u = ( 2 , 1 , -2 )y v = ( 1 , 2 , 0 )
Solución:

i
u × v = u1
v1
=

j k
u2 u3
v2 v3

-3 -2 i 2 0

=

i j k
i j k
2 1 -2 = 0 -3 -2
1 2 0
1 2 0

0 -2 j +
1 0

0 -3
1 2

k

u×v = 4i - 2j + 3k
IMPORTANTE el producto vectorial de dos vectores es un vector, a diferencia del producto interno el
cual es un número ( o escalar).
10.- Propiedades del producto cruz:
a) El producto cruz esanticonmutativo




 
 
c) ku  v  k u  v 
b) u  u  0

 
 
u v   v u

  
 
 
u  v  w  ( u  v )  ( u  w )
  
 
 
v  w u  ( v  u )  ( w  u )

d) el producto cruz es distributivo

3

e) ( u × v ) =

 u × v = u × v
f) 0 × u = u x 0 = 0
g) u × u = 0
        
h) u  v  w  u  w v  v  w u REVISAR u ×...