Velocidad

2.1 VELOCIDAD
PROBLEMAS DE LA TANGENTE Y LA VELOCIDAD
La palabra tangente proviene de la palabra latina tangens, la cual significa “tocar”. De este modo una tangente es una recta que toca a otrarecta ( la última). ¿Cómo se puede precisar esta idea?
Para un círculo prodríamos seguir la idea de Eúclides y decir que una tangente es una recta intrínseca, toca ese cìrculo una vez y una sola vez.Para curvas más complicadas esta definición es inadecuada. En la figura 1b) se muestran dos rectas, l y t que pasan por un punto P de una curva C. La recta L intersecta C solo una vez, pero es evidenteque no se parece a lo que consideramos como una tangente. Por otra parte, la recta t parece una tangente, pero intercepta C dos veces.
Graficas

Ejemplo 1.
Encuentre una ecuación de la rectatangente t a la parábola y=x² en el punto p(1,1).
Solución.
Podemos hallar la ecuación de la recta tangente t tan pronto conozcamos su pendiente m.
La dificultad es que conocemos solo un punto, P, det, en tanto que necesitamos dos puntos para calcular la pendiente m. Pero podemos calcular una aproximación para m si elegimos un punto cercano Q(X, X²) de la parábola (figura 2) y calculamos supendiente m para la recta secante PQ.
Elegimos x≠1, de modo que Q=P entonces mPQ= X²-1/x-1.
Por ejemplo, para el punto Q(1.5,2.25), tenemos:
mPQ=2.25-1/1.5-1= 1.25/0.5=2.5
Las siguientes tablasmuestran los valores de mPQ para varios valores de X cercanos a.
X mPQ
2 3
1.5 2.5
1.1 2.1
1.01 2.01
1.001 2.001
X mPQ
0 1
0.5 1.5
0.9 1.9
0.99 1.99
0.999 1.99

Entre mas cerca esta Q de P,más lo está x de 1 por lo que se ve en las tablas, mPQ está más próxima a 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debe ser m=2.
Decimos que la m de la recta tangente es el límite de laspendientes de las rectas secantes, y simbólicamente expresamos esto al escribir:
lim┬(Q→P)⁡〖〖mPQ=m〗^ 〗
lim┬(x→1)⁡〖(x^2-1)/(x-1)=2〗

Y
Si se supone que, en efecto la pendiente de la recta...